Tiger Algebra/core — Polish @ Weblate: Raising to a power, or exponentiation, is the process of …

Translation

Key RaisingtoaPowerContent

English

Raising to a power, or exponentiation, is the process of multiplying a base value b by itself the number of times given by the exponent n in the term b^n.
 
So, for example, <math>3^4</math> is the same as <math>3 x 3 x 3 x 3</math>, which equals <math>81</math>.
 
This is spoken as “three to the fourth power” or “three to the fourth”. There are two exceptions to this: The power of two is generally called “squared” so <math>3^2</math> is “three squared”. The power of three is referred to as “cubed” so <math>3^3</math> is “three cubed”.
 
Exponents are especially useful when dealing with variables, such as <math>x^3</math>. There are a few rules in simplifying several variables raised to a power in one expression.
 
When two terms with the same base are multiplied, the exponents are added:
<math>(b^n)(b^m) = b^(n+m)</math>
 
When raising a power to a power, the exponents are multiplied with each other:
<math>(b^n)^m = b^(n*m)</math>
In other words, if the entire expression <math>b^n</math> is raised to the power of <math>^m</math>, the new power of b is the product of n multiplied by m.
 
Any number to the power of zero equals 1, as long as the base value itself is not 0.
 
Enter your problem into Tiger’s calculator and the step-by-step solution will help you understand how to raise a number or an expression to a power.

Polish

Podnoszenie do potęgi, czyli eksponencja, to proces mnożenia wartości podstawowej b przez samą siebie tyle razy, ile wynosi wykładnik n w wyrażeniu b^n.
 
Tak więc, na przykład, <math>3^4</math> to to samo co <math>3 x 3 x 3 x 3</math>, co daje wynik <math>81</math>.
 
Mówimy o tym jako “trzy do potęgi czwartej”. Istnieją dwie wyjątki od tej zasady: potęga druga zazwyczaj nazywana jest “kwadratem”, więc <math>3^2</math> to “trzy kwadraty”. Potęga trzecia zwykle określana jest mianem “sześcianu”, więc <math>3^3</math> to “trzy sześciany”.
 
Wykładniki są szczególnie przydatne przy pracy z zmiennymi, takimi jak <math>x^3</math>. Istnieje kilka zasad upraszczania wielu zmiennych podniesionych do potęgi w jednym wyrażeniu.
 
Gdy mnożymy dwa wyrazy o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki:
<math>(b^n)(b^m) = b^(n+m)</math>
 
Podnosząc potęgę do potęgi, mnożymy wykładniki:
<math>(b^n)^m = b^(n*m)</math>
Innymi słowy, jeśli całe wyrażenie <math>b^n</math> podniesiemy do potęgi <math>^m</math>, nową potęgą b jest iloczyn n pomnożony przez m.
 
Każda liczba podniesiona do potęgi zero wynosi 1, o ile sama wartość podstawy nie jest 0.
 
Wpisz swoje zadanie do kalkulatora Tiger’s i krok po kroku uzyskasz rozwiązanie, które pomoże Ci zrozumieć, jak podnieść liczbę lub wyrażenie do potęgi.

Needs editing

Skip

Key	English	Polish
PercentContent	Percentages are ratios, meaning they represent parts of a whole. The word "cent" comes from the Latin word "centum" which means "hundred," so when we say "per_cent", we actually mean per one hundred. For example, five percent, written as 5% is five per, or "out of", one hundred. Another way to express the ratio is as a fraction, in this case, <math>5/100</math>, which can be turned into a percentage by dividing the part by the whole. Dividing <math>5/100</math> would give us 0.05 or 5%. Percentages can also be bigger than the whole. For example, 120 percent (120%) is 120 out of a hundred.<br><br>But what about when we want to figure out the exact number that a percentage represents? For example, if we know that 5% of the students in our class got A's on a test and we know that there are twenty students in the class, how do we figure out how many students in the class got A's? Our first clue is that there are a total of twenty students in the class, meaning twenty is equal to 100%. If 5% is equal to <math>5/100</math> and we are looking for 5% of twenty, then we can simply multiply <math>5/100</math> by twenty to get the answer, one. So, one student in the class got an A on their test. It is worth noting that we could have also gotten the result by first converting <math>5/100</math> to a decimal, by dividing five by one-hundred and multiplying the result, 0.05, by twenty.	Procenty to stosunki, co oznacza, że reprezentują części całości. Słowo "cent" pochodzi od łacińskiego słowa "centum", które oznacza "sto", więc kiedy mówimy "na_cent", mamy na myśli na sto. Na przykład, pięć procent, napisane jako 5%, to pięć na, czyli "z", sto. Innym sposobem wyrażenia stosunku jest użycie ułamka, w tym przypadku, <math>5/100</math>, który można zamienić na procenty, dzieląc część przez całość. Dzielenie <math>5/100</math> dałoby nam 0,05, czyli 5%. Procenty mogą być również większe niż całość. Na przykład, 120 procent (120%) to 120 na sto.<br><br>A co w przypadku, gdy chcemy dowiedzieć się dokładnej liczby, którą reprezentuje procent? Na przykład, jeśli wiemy, że 5% uczniów w naszej klasie otrzymało ocenę A na teście i wiemy, że w klasie jest dwadzieścia osób, jak obliczyć, ilu uczniów otrzymało A? Naszą pierwszą wskazówką jest to, że w klasie jest łącznie dwadzieścia osób, co oznacza, że dwadzieścia jest równe 100%. Jeżeli 5% jest równe <math>5/100</math> i szukamy 5% z dwudziestu, to po prostu mnożymy <math>5/100</math> przez dwadzieścia, aby uzyskać odpowiedź, czyli jeden. Czyli jeden uczeń w klasie otrzymał na teście ocenę A. Warto zauważyć, że wynik moglibyśmy uzyskać również najpierw konwertując <math>5/100</math> na dziesiętny, dzieląc pięć przez sto i mnożąc wynik, 0,05, przez dwadzieścia.
Pi	Pi	Pi
PiTopic	Pi	Pi
PiContent	<div style="white-space: normal;"> <p>Pi (<math>\pi</math>) is a mathematical constant representing the ratio of a circle's circumference to its diameter. It is an irrational number, meaning it cannot be expressed as a finite decimal or a fraction.</p> <h2>Value of Pi</h2> <p>The value of pi is approximately 3.14159, but it is an infinitely long decimal with no repeating pattern. It is often approximated as <math>\pi \approx 3.14</math> for practical calculations.</p> <h2>Properties of Pi</h2> <ul> <li>Pi is a transcendental number, meaning it is not the root of any non-zero polynomial equation with rational coefficients.</li> <li>It is involved in many mathematical formulas and equations, including those in geometry, trigonometry, calculus, and physics.</li> <li>Pi is an important constant in the field of mathematics and has been studied and approximated for thousands of years.</li> </ul> <h2>History</h2> <p>The ancient Egyptians and Babylonians were among the first civilizations to approximate the value of pi. However, it was the Greek mathematician Archimedes who provided one of the earliest rigorous approximations of pi using inscribed and circumscribed polygons.</p> <p>The symbol <math>\pi</math> was first used by Welsh mathematician William Jones in 1706, and it was popularized by Swiss mathematician Leonhard Euler in the 18th century.</p> <p>Pi has since become one of the most well-known and studied mathematical constants, with its digits computed to trillions of decimal places using modern computational techniques.</p> </div>	<div style ="white-space: normal;"> <p>Pi (<math>\pi</math>) to stała matematyczna reprezentująca stosunek obwodu koła do jego średnicy. Jest to liczba niewymierna, co oznacza, że nie można jej wyrazić jako skończonego dziesiętnego lub ułamka. </p> <h2> Wartość Pi </h2> <p> Wartość pi wynosi około 3,14159, ale jest to nieskończony długi dziesiętny bez powtarzającego się wzoru. Często przybliża się jako <math>\pi \approx 3,14</math> dla praktycznych obliczeń. </p> <h2> Właściwości Pi </h2> <ul> <li>Pi to liczba transcendentna, co oznacza, że nie jest pierwiastkiem żadnego równania wielomianowego z niewymiernymi współczynnikami. </li> <li>Uczestniczy w wielu wzorach i równaniach matematycznych, w tym w geometrii, trygonometrii, analizie matematycznej i fizyce.</li> <li>Pi jest ważną stałą w dziedzinie matematyki i była badana i przybliżana przez tysiące lat. </li> </ul> <h2>Historia</h2> <p>Starożytni Egipcjanie i Babilończycy byli jednymi z pierwszych cywilizacji, które przybliżyły wartość pi. Jednak to grecki matematyk Archimedes dostarczył jedno z najwcześniejszych ścisłych przybliżeń pi, używając wielokątów wpisanych i opisanych. </p> <p>Symbol <math>\pi</math> został po raz pierwszy użyty przez walijskiego matematyka Williama Jonesa w 1706 roku, a rozpowszechnił go szwajcarski matematyk Leonhard Euler w XVIII wieku. </p> <p>Pi stało się od tego czasu jedną z najbardziej znanych i badanych stałych matematycznych, a jego cyfry obliczane są do bilionów miejsc dziesiętnych przy użyciu nowoczesnych technik obliczeniowych. </p> </div>
PolynomialLongDivision	Polynomial long division	Długie dzielenie wielomianów
PolynomialLongDivisionContent	<div style="white-space: normal;"> <p>Polynomial long division is a method used to divide polynomials, similar to long division with numbers. It allows us to divide one polynomial by another polynomial to find the quotient and remainder.</p> <h2>Step-by-Step Process</h2> <p>To perform polynomial long division, follow these steps:</p> <ol> <li>Arrange the terms of the dividend and divisor in descending order of their degrees.</li> <li>Divide the leading term of the dividend by the leading term of the divisor to obtain the first term of the quotient.</li> <li>Multiply the entire divisor by the first term of the quotient, and subtract this product from the dividend.</li> <li>Bring down the next term of the dividend, and repeat steps 2 and 3 until all terms have been processed.</li> <li>The resulting expression is the quotient, and any remaining terms constitute the remainder.</li> </ol> <h2>Example</h2> <p>Let's perform polynomial long division for the division <math>(2x^3 + 3x^2 - 4x + 1) ÷ (x - 1)</math>:</p> <ol> <li>Dividend: <math>2x^3 + 3x^2 - 4x + 1</math></li> <li>Divisor: <math>x - 1</math></li> <li>Quotient: <math>2x^2 + 5x + 1</math></li> <li>Remainder: <math>0</math></li> </ol> <p>Therefore, <math>(2x^3 + 3x^2 - 4x + 1) ÷ (x - 1) = 2x^2 + 5x + 1</math>.</p> <p>Polynomial long division is a powerful tool for simplifying polynomial expressions and solving equations.</p> </div>	<div style="white-space: normal;"> <p>Długie dzielenie wielomianów to metoda używana do dzielenia wielomianów, podobna do długiego dzielenia liczb. Pozwala nam to na podzielenie jednego wielomianu przez inny wielomian w celu znalezienia ilorazu i reszty.</p> <h2>Proces krok po kroku</h2> <p>Aby przeprowadzić długie dzielenie wielomianów, postępuj zgodnie z następującymi krokami:</p> <ol> <li>Uszereguj składniki dzielnej i dzielnika w kolejności malejących stopni.</li> <li>Podziel czołowy składnik dzielnej przez czołowy składnik dzielnika, aby uzyskać pierwszy cudzysłów ilorazu.</li> <li>Pomnóż cały dzielnik przez pierwszy term ilorazu i odejmij ten produkt od dzielnej.</li> <li>Przeciągnij kolejny term dzielnej, i powtórz kroki 2 i 3 do momentu przetworzenia wszystkich składników.</li> <li>Pozostałe wyrażenie to iloraz, a pozostałe składniki stanowią resztę.</li> </ol> <h2>Przykład</h2> <p>Wykonajmy długie dzielenie wielomianów dla podziału <math>(2x^3 + 3x^2 - 4x + 1) ÷ (x - 1)</math>:</p> <ol> <li>Dzielna: <math>2x^3 + 3x^2 - 4x + 1</math></li> <li>Dzielnik: <math>x - 1</math></li> <li>Iloraz: <math>2x^2 + 5x + 1</math></li> <li>Reszta: <math>0</math></li> </ol> <p>Więc, <math>(2x^3 + 3x^2 - 4x + 1) ÷ (x - 1) = 2x^2 + 5x + 1</math>.</p> <p>Długie dzielenie wielomianów jest potężnym narzędziem do upraszczania wyrażeń wielomianowych i rozwiązywania równań.</p> </div>
PolynomialRootCalculator	Polynomial root calculator	Kalkulator pierwiastków wielomianów
PolynomialRootCalculatorContent	Polynomial roots (zeroes) are calculated by applying a set of methods aimed at finding values of n for which f(n)=0. One method uses the Rational Root (or Rational Zero) Test. This is also be referred to as the Rational Root (or Rational Zero) Theorem or the p/q theorem. Regardless of its name, it only finds rational roots that are the number n that can be expressed as the quotient of two integers. <br><br> The Rational Root Theorem states that if a polynomial has integer coefficients, then every rational zero of f(x) has the form p/q where p is a factor of the trailing constant a0 and q is a factor of the leading coefficient an. When the leading coefficient is 1, the possible rational zeros are the factors of the constant term. <br><br> Enter your problem into Tiger’s calculator and the step-by-step solution will help you understand how find the roots of a polynomial.	Pierwiastki wielomianu (zera) są obliczane za pomocą zestawu metod mających na celu znalezienie wartości n, dla których f(n)=0. Jedna z metod korzysta z Testu racjonalnego pierwiastka (lub Zero). To jest również odnoszone jako Teorema o racjonalnym pierwiastku (lub zero) lub teorema p/q. Bez względu na jego nazwę, znajduje tylko racjonalne pierwiastki, które są liczbą n, którą można wyrazić jako iloraz dwóch liczb całkowitych. <br><br> Teorema o racjonalnym pierwiastku mówi, że jeśli wielomian ma współczynniki całkowite, to każde racjonalne zero f(x) ma postać p/q, gdzie p jest czynnikiem stałej końcowej a0, a q jest czynnikiem współczynnika czołowego an. Kiedy współczynnik czołowy wynosi 1, możliwe racjonalne zera są czynnikami stałej term. <br><br> Wprowadź swoje zadanie do kalkulatora Tiger’s i krok po kroku rozwiązanie pomoże Ci zrozumieć, jak znaleźć pierwiastki wielomianu.
Powersofi	Powers of i	Potęgi i
PowersofiContent	Imaginary numbers, almost always written as i, are unique in that they equal a negative number when multiplied by themselves. You might be wondering how this is possible since even negative numbers multiplied by themselves equal a positive number. The trick is that <math>i=√-1</math>, which, when multiplied by itself, removes the radical symbol but does not change the symbol of the number inside the radical symbol.<br><br>What is even more interesting about imaginary numbers, is that raising them by increasing powers results in a predictable, repetitive cycle that helps us quickly solve problems that might otherwise be unruly. For example, we can use this cycle to quickly solve <math>i^3473</math>, which might otherwise require a lot of extra work. Here is how it works: i, when raised to the powers of 0 through 3, results in different outcomes. After this, however, the outcomes start to repeat themselves every four digits, forever. So, <math>i^0 = i^4 = i^8 = 1</math> and <math>i^3 = i^7 = i^11 = -i</math> and so on.<br> <img src="/images/powerofi-graph1.png" alt="Power Of I"><br><br> This means that, instead of manually calculating i raised to any power higher than 4, we can find a number close to that power and use the pattern described above, as well as properties of exponents, to simplify it.<br><br> For example, let's <a target="_blank" href="https://www.tiger-algebra.com/en/solution/power-of-i/i%5E23/">calculate <math>i^23</math></a>	Liczby urojone, prawie zawsze zapisywane jako i, są unikalne w tym sensie, że kiedy są mnożone przez siebie, dają wynik ujemny. Możesz się zastanawiać, jak to jest możliwe, skoro nawet liczby ujemne pomnożone przez siebie dają wynik dodatni. Sztuczka polega na tym, że <math>i=√-1</math>, które, kiedy jest mnożone przez siebie, usuwa symbol pierwiastka, ale nie zmienia znaku liczby znajdującej się pod symbolem pierwiastka.<br><br>Co ciekawe, podnosząc liczby urojone do coraz wyższych potęg, otrzymujemy przewidywalny, powtarzający się cykl, który pomaga nam szybko rozwiązać problemy, które inaczej mogłyby być uciążliwe. Na przykład, możemy użyć tego cyklu do szybkiego rozwiązania <math>i^3473</math>, co inaczej wymagałoby dużo dodatkowej pracy. Oto jak to działa: i, podnoszone do potęg od 0 do 3, daje różne wyniki. Po tym jednak, wyniki zaczynają się powtarzać co cztery cyfry, na zawsze. Więc, <math>i^0 = i^4 = i^8 = 1</math> a <math>i^3 = i^7 = i^11 = -i</math> i tak dalej.<br> <img src="/images/powerofi-graph1.png" alt="Moc I"><br><br> To oznacza, że zamiast ręcznie obliczać i podniesione do potęgi wyższej niż 4, możemy znaleźć liczbę bliską tej potędze i użyć opisanego powyżej wzorca, a także właściwości wykładników, aby to uprościć.<br><br> Na przykład, obliczmy <a target="_blank" href="https://www.tiger-algebra.com/pl/solution/power-of-i/i%5E23/">podemień <math>i^23</math></a>
PropertiesofaStraightLine	Properties of a straight line	Właściwości linii prostej
PropertiesofaStraightLineTopicContent	A straight line is a one-dimensional figure that has a minimal thickness and extends infinitely in two opposing directions.<br> Every straight line has a slope that represents its gradient, or steepness. In mathematical expressions, this is typically written as <math>m</math> and we can calculate it by selecting two points on the line and dividing the difference in their y-coordinates by the difference in their x-coordinates. The change in a line's y-coordinates represents the line's vertical change and is often referred to as the "rise", whereas the change in a line's x-coordinates represents the line's horizontal change and is often referred to as the "run". This means the slope of a straight line is equal to the line's rise divided by its run <math>m =(y_2-y_1)/(x_2-x_1)=△y/△x</math>. <br><br> Here are some other useful facts about straight lines: <br> <ul> <li>A straight line is the shortest distance between any two points.</li> <li>If a line rises to the right, then its slope is positive.</li> <li>If a line falls to the right, then its slope is negative.</li> <li>A line that rises to the right at a 45° angle has a slope of 1.</li> <li>A line that falls to the right at a 45° angle has a slope of -1.</li> <li>A horizontal line has a slope of 0.</li> <li>A vertical line has an undefined slope.</li> </ul> <br> <img src="/images/solver/Properties_of_straight_line_firs_image.png" alt="Properties of straight lines"/> <br> <br> <b>Types of lines:</b> <ul> <li>Ray: A line with one fixed end and one end that continues forever.</li> <li>Line segment: A line with two fixed ends.</li> <li>Parallel lines: Two or more lines that have the same slope and, therefore, never meet.</li> <li>Perpendicular lines: Two lines that intersect at a right angle (90°). Their slopes are negative reciprocals of one another.</li> <li>Vertical line: A line that runs parallel to a plane's y-axis. The slope of a vertical line is undefined.</li> <li>Horizontal line: A line that runs parallel to a plane's x-axis. The slope of a vertical line is 0.</li> <li>Transversal: A line that crosses at least two other lines.</li> <li>Tangent line: A line that touches a curve, matching the curve's slope at that point.</li> <li>Secant line: A line that intersects two or more points on a curve.</li> </ul> <br> <img src="/images/solver/Properties_of_straight_line_second_image.png" alt="Properties of straight lines 2nd image"/> <br> <b>Equations of lines:</b> A linear equation is the equation of a straight line. Linear equations most commonly take the following forms: <ul> <li><b>Standard form</b>: <math>ax+by=c</math> in which <math>x</math> and <math>y</math> represent the x and y-coordinates of a point on the line and <math>a, b</math> and <math>c</math> represent coefficients. If <math>a=0</math> then <math>b≠0</math> and if <math>b=0</math> then <math>a≠0</math>.</li> <li><b>Slope-intercept form</b>: <math>y=mx+b</math> in which <math>x</math> and <math>y</math> represent the coordinates of a point on the line, <math>m</math> represents the slope, and <math>b</math> represents the y-Intercept, the value of <math>y</math> when <math>x</math> equals <math>0</math>.</li> <li><b>Point-slope form</b>: <math>y-y_1=m(x-x_1)</math> in which <math>x</math> and <math>x_1</math> represent the x-coordinates of two points on a line, <math>y</math> and <math>y_1</math> represent the y-coordinates of two points on a line, and <math>m</math> represents the slope of a line.</li> <li><b>Equation of a vertical line</b>: The exception to this is when a line is vertical, in which case its slope is undefined and the line cannot be represented by slope-intercept or point-slope form. The equation of such lines is <math>x=</math>?. All the points on vertical lines have the same x-coordinate so we define the line in terms of its x-variable.</li> </ul> <b>Relevant terms:</b> <ul> <li>y-intercept: The point on a graph where a line crosses the graph's y-axis. It is also the value of <math>y</math> when <math>x</math> equals <math>0</math>.</li> <li>x-Intercept: The point on a graph where a line crosses the graph's x-axis. It is also the value of <math>x</math> when <math>y</math> equals <math>0</math>.</li> </ul>	Linia prosta to figura jednowymiarowa, która ma minimalną grubość i rozciąga się nieskończenie w dwóch przeciwnych kierunkach.<br> Każda linia prosta ma nachylenie, które reprezentuje jej gradient, czyli stopień nachylenia. W wyrażeniach matematycznych zazwyczaj zapisuje się to jako <math>m</math> i można je obliczyć, wybierając dwie punkty na linii i dzieląc różnicę ich współrzędnych y przez różnicę ich współrzędnych x. Zmiana współrzędnych y linii reprezentuje wertykalną zmianę linii i jest często nazywana "wzniesieniem", podczas gdy zmiana współrzędnych x linii reprezentuje horyzontalną zmianę linii, często nazywaną "biegiem". Oznacza to, że nachylenie linii prostej jest równe wzniesieniu linii podzielonemu przez jej bieg <math>m =(y_2-y_1)/(x_2-x_1)=△y/△x</math>.<br><br> Oto kilka innych przydatnych informacji o liniach prostych:<br> <ul> <li>Linia prosta stanowi najkrótszą odległość między dowolnymi dwoma punktami.</li> <li>Jeśli linia zaczyna się od punktu wyższego i prowadzi w stronę punktu niższego, to znaczy, że ma ona dodatnią wartość nachylenia.</li> <li>Jeśli linia prowadzi od punktu niższego do punktu wyższego, to jej nachylenie jest ujemne.</li> <li>Linia, która prowadzi wzdłuż osi x pod kątem 45° do osi y, ma nachylenie 1.</li> <li>Linia, która prowadzi w dół pod kątem 45°, ma nachylenie -1.</li> <li>Linia horyzontalna ma nachylenie 0.</li> <li>Linia pionowa ma nieokreślone nachylenie.</li> </ul> <br> <img src="/images/solver/Properties_of_straight_line_firs_image.png" alt="Properties of straight lines"/> <br> <br> <b>Typy linii:</b> <ul> <li>Promień: Linia z jednym stałym końcem i jednym końcem, który ciągnie się nieskończenie.</li> <li>Odcinek linii: Linia z dwoma stałymi końcami.</li> <li>Linie równoległe: Dwie lub więcej linii, które mają takie samo nachylenie i dlatego nigdy się nie spotkają.</li> <li>Linie prostopadłe: Dwie linie, które przecinają się pod kątem prostym (90°). Ich nachylenia są odwracalne względem siebie.</li> <li>Linia pionowa: Linia, która biegnie równolegle do osi y płaszczyzny. Nachylenie linii pionowej jest nieokreślone.</li> <li>Linia pozioma: Linia, która biegnie równolegle do osi x płaszczyzny. Nachylenie linii pionowej wynosi 0.</li> <li>Przekątna: Linia, która przecina co najmniej dwie inne linie.</li> <li>Styczna: Linia, która dotyka krzywej, dopasowując nachylenie krzywej w tym punkcie.</li> <li>Sekanta: Linia, która przecina dwa lub więcej punktów na krzywej.</li> </ul> <br> <img src="/images/solver/Properties_of_straight_line_second_image.png" alt="Properties of straight lines 2nd image"/> <br> <b>Równania linii:</b> Równanie liniowe to równanie linii prostej. Równania linii najczęściej przyjmują następujące formy: <ul> <li><b>Forma standardowa</b>: <math>ax+by=c</math>, gdzie <math>x</math> i <math>y</math> reprezentują współrzędne punktu na linii, a <math>a, b</math> i <math>c</math> reprezentują współczynniki. Jeśli <math>a=0</math>, wtedy <math>b≠0</math> i jeśli <math>b=0</math> wtedy <math>a≠0</math>.</li> <li><b>Forma nachylenia-przecięcie</b>: <math>y=mx+b</math>, gdzie <math>x</math> i <math>y</math> reprezentują współrzędne punktu na linii, <math>m</math> reprezentuje nachylenie, a <math>b</math> reprezentuje przecięcie z osią y, wartość <math>y</math> gdy <math>x</math> wynosi <math>0</math>.</li> <li><b>Forma punktowo-nachyleniowa</b>: <math>y-y_1=m(x-x_1)</math>, w którym <math>x</math> i <math>x_1</math> reprezentują współrzędne x dwóch punktów na linii, <math>y</math> i <math>y_1</math> reprezentują współrzędne y dwóch punktów na linii, a <math>m</math> reprezentuje nachylenie linii.</li> <li><b>Równanie linii pionowej</b>: Wyjątkiem są linie pionowe, dla których nachylenie jest nieokreślone i nie można ich przedstawić w formie nachylenia-przecięcie lub punktowo-nachyleniowej. Równanie takich linii to <math>x=</math>?. Wszystkie punkty na liniach pionowych mają tę samą współrzędną x, dlatego definiujemy linię za pomocą jej zmiennej x.</li> </ul> <b>Terminy dotyczące:</b> <ul> <li>Przecięcie z osią y: Punkt na wykresie, w którym linia przecina oś y wykresu. Jest to również wartość <math>y</math>, gdy <math>x</math> wynosi <math>0</math>.</li> <li>Przecięcie z osią x: Punkt na wykresie, w którym linia przecina oś x wykresu. Jest to również wartość <math>x</math>, gdy <math>y</math> wynosi <math>0</math>.</li> </ul>
PullingOutLikeTerms	Pulling out like terms	Wyodrębnianie takich samych wyrażeń
PullingOutLikeTermsContent	<div style="white-space: normal;"> <p>When simplifying algebraic expressions, one of the fundamental techniques is pulling out like terms. Like terms are those that have the same variables raised to the same powers. Here's how you can do it:</p> <h2>Step 1: Identify Like Terms</h2> <p>Scan through the expression and identify terms that have the same variables and the same powers. For example, in the expression <math>3x + 2y - 5x + 4y</math>, the terms <math>3x</math> and <math>-5x</math> are like terms because they both have the variable <math>x</math> raised to the power of 1.</p> <h2>Step 2: Combine Like Terms</h2> <p>Once you've identified like terms, you can combine them by adding or subtracting their coefficients. For example, in the expression <math>3x + 2y - 5x + 4y</math>, combining the like terms gives us <math>(3x - 5x) + (2y + 4y)</math>, which simplifies to <math>-2x + 6y</math>.</p> <h2>Step 3: Simplify the Expression</h2> <p>After combining like terms, simplify the expression further if possible. In our example, <math>-2x + 6y</math> cannot be simplified any further because there are no more like terms to combine.</p> <p>Remember, pulling out like terms is crucial for simplifying algebraic expressions and making them easier to work with.</p> </div>	<div style="white-space: normal;"> <p>Podczas upraszczania wyrażeń algebraicznych jedną z podstawowych technik jest wyodrębnianie takich samych wyrażeń. Takie same wyrażenia to te, które mają te same zmienne podniesione do tych samych potęg. Oto jak to zrobić:</p> <h2>Krok 1: Zidentyfikuj takie same wyrażenia.</h2> <p>Przeszukaj wyrażenie i zidentyfikuj wyrażenia, które mają te same zmienne i te same potęgi. Na przykład, w wyrażeniu <math>3x + 2y - 5x + 4y</math> wyrażenia <math>3x</math> i <math>-5x</math> są takimi samymi wyrażeniami, ponieważ oba mają zmienną <math>x</math> podniesioną do potęgi 1.</p> <h2>Krok 2: Łącz takie same wyrażenia.</h2> <p>Po zidentyfikowaniu takich samych wyrażeń możesz je połączyć, dodając lub odejmując ich współczynniki. Na przykład, w wyrażeniu <math>3x + 2y - 5x + 4y</math> połączenie takich samych wyrażeń daje nam <math>(3x - 5x) + (2y + 4y)</math>, co upraszcza do <math>-2x + 6y</math>.</p> <h2>Krok 3: Uprość wyrażenie.</h2> <p>Po połączeniu takich samych wyrażeń upraszczaj wyrażenie dalej, jeśli to możliwe. W naszym przykładzie <math>-2x + 6y</math> nie można już bardziej uprościć, ponieważ nie ma więcej takich samych wyrażeń do połączenia.</p> <p>Pamiętaj, że wyodrębnianie takich samych wyrażeń jest kluczowe dla upraszczania wyrażeń algebraicznych i ułatwienia ich pracy.</p> </div>
RaisingtoaPower	Raising to a power	Podnoszenie do potęgi
RaisingtoaPowerContent	Raising to a power, or exponentiation, is the process of multiplying a base value b by itself the number of times given by the exponent n in the term b^n. <br><br> So, for example, <math>3^4</math> is the same as <math>3 x 3 x 3 x 3</math>, which equals <math>81</math>. <br><br> This is spoken as “three to the fourth power” or “three to the fourth”. There are two exceptions to this: The power of two is generally called “squared” so <math>3^2</math> is “three squared”. The power of three is referred to as “cubed” so <math>3^3</math> is “three cubed”. <br><br> Exponents are especially useful when dealing with variables, such as <math>x^3</math>. There are a few rules in simplifying several variables raised to a power in one expression. <br><br> When two terms with the same base are multiplied, the exponents are added: <math>(b^n)(b^m) = b^(n+m)</math> <br><br> When raising a power to a power, the exponents are multiplied with each other: <math>(b^n)^m = b^(n*m)</math> In other words, if the entire expression <math>b^n</math> is raised to the power of <math>^m</math>, the new power of b is the product of n multiplied by m. <br><br> Any number to the power of zero equals 1, as long as the base value itself is not 0. <br><br> Enter your problem into Tiger’s calculator and the step-by-step solution will help you understand how to raise a number or an expression to a power.	Podnoszenie do potęgi, czyli eksponencja, to proces mnożenia wartości podstawowej b przez samą siebie tyle razy, ile wynosi wykładnik n w wyrażeniu b^n. <br><br> Tak więc, na przykład, <math>3^4</math> to to samo co <math>3 x 3 x 3 x 3</math>, co daje wynik <math>81</math>. <br><br> Mówimy o tym jako “trzy do potęgi czwartej”. Istnieją dwie wyjątki od tej zasady: potęga druga zazwyczaj nazywana jest “kwadratem”, więc <math>3^2</math> to “trzy kwadraty”. Potęga trzecia zwykle określana jest mianem “sześcianu”, więc <math>3^3</math> to “trzy sześciany”. <br><br> Wykładniki są szczególnie przydatne przy pracy z zmiennymi, takimi jak <math>x^3</math>. Istnieje kilka zasad upraszczania wielu zmiennych podniesionych do potęgi w jednym wyrażeniu. <br><br> Gdy mnożymy dwa wyrazy o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki: <math>(b^n)(b^m) = b^(n+m)</math> <br><br> Podnosząc potęgę do potęgi, mnożymy wykładniki: <math>(b^n)^m = b^(n*m)</math> Innymi słowy, jeśli całe wyrażenie <math>b^n</math> podniesiemy do potęgi <math>^m</math>, nową potęgą b jest iloczyn n pomnożony przez m. <br><br> Każda liczba podniesiona do potęgi zero wynosi 1, o ile sama wartość podstawy nie jest 0. <br><br> Wpisz swoje zadanie do kalkulatora Tiger’s i krok po kroku uzyskasz rozwiązanie, które pomoże Ci zrozumieć, jak podnieść liczbę lub wyrażenie do potęgi.
ReducingFractionsToLowestTerms	Reducing fractions to lowest terms	Zmniejszanie ułamków do najniższych warunków
ReducingFractionsToLowestTermsContent	A fraction is in lowest terms when the numerator and denominator have no common factor other than 1. For example, if we examine the fraction <math>25/50</math>, we can reduce this fraction by dividing both the numerator and denominator by their common factor, 25. <math>25/25=1</math> and <math>50/25=2</math> then <math>25/50=1/2</math>. which is a fraction in its lowest terms.	Ułamek jest w najniższych warunkach, gdy licznik i mianownik nie mają wspólnego czynnika inaczej niż 1. Na przykład, jeśli przyjrzećmy się ułamkowi <math>25/50</math>, możemy zredukować ten ułamek dzieląc zarówno licznik, jak i mianownik przez ich wspólny czynnik, 25. <math>25/25=1</math> i <math>50/25=2</math> stąd <math>25/50=1/2</math>. Co jest ułamkiem w jego najniższych warunkach.
SimplifyingRadicals	Simplifying radicals	Uproszczanie radikałów
SimplifyingRadicalsContent	A Square Root Radical is said to be simplified, or in its simplest form, when the radicand has no square factors. <br><br> Consider <math>sqrt(55)</math>, for example, has no square factors. Its factors are 5 and 11 <math>(511=55)</math>, neither of which is a square number. Therefore, it is in its simplest form. <br><br> In contrast <math>sqrt(200)</math>, has the square factor 100. <math>(200 = 100 2)</math>. Therefore, it is not in its simplest form. To get the simplest form <math>sqrt(200)=sqrt(100)sqrt(2)=10sqrt(2)</math>	Pierwiastek kwadratowy jest powiedziane, że jest uproszczony, lub w najprostszym form, gdy radicand nie ma kwadratowych czynników. <br><br> Rozważ <math>sqrt(55)</math>, na przykład, nie ma kwadratowych czynników. Jego czynniki to 5 i 11 <math>(511=55)</math>, żadne z nich nie jest kwadratową liczbą. Stąd, jest w swojej najprostszej formie. <br><br> W kontraście <math>sqrt(200)</math>, ma kwadratowy czynnik 100. <math>(200 = 100 2)</math>. Dlatego, nie jest w najprostszym formie. Aby dostać najprostszą formę <math>sqrt(200)=sqrt(100)sqrt(2)=10sqrt(2)</math>
NonLinearEquations	Nonlinear equations	Równania nieliniowe
NonLinearEquationsContent	A nonlinear equation is also known as a polynomial equation. An equation that has a degree (or exponent) higher than 1 is considered nonlinear. Such equations are defined by equating polynomials (of a degree greater than one) to zero. They are differentiated from linear equations by evaluating the relationship between variables: when one variable (x) does not cause the other variable (y) to increase or decrease in a way corresponding to the slope’s value, it is nonlinear. When graphed, nonlinear equations may have the form of a parabola, a curved X shape, or some variation of these curved forms. It never, however, takes the form of a line, hence its name. <div style="white-space: normal;"> <h2>Types of Nonlinear Equations</h2> <p>There are various types of nonlinear equations, including:</p> <ul> <li><strong>Polynomial equations:</strong> Equations where the unknowns are raised to integer powers.</li> <li><strong>Exponential equations:</strong> Equations involving exponential functions, such as <math>e^x</math> or <math>a^x</math>.</li> <li><strong>Trigonometric equations:</strong> Equations involving trigonometric functions like sine, cosine, or tangent.</li> <li><strong>Logarithmic equations:</strong> Equations involving logarithmic functions, such as <math>\log(x)</math> or <math>\ln(x)</math>.</li> <li><strong>Rational equations:</strong> Equations containing rational functions, where the unknowns are in the numerator or denominator of fractions.</li> </ul> <h2>Solving Nonlinear Equations</h2> <p>Solving nonlinear equations can be challenging and often requires numerical or iterative methods since closed-form solutions may not exist.</p> <p>Common techniques for solving nonlinear equations include:</p> <ul> <li>Graphical methods</li> <li>Numerical methods like Newton's method or the secant method</li> <li>Iterative methods like fixed-point iteration or the bisection method</li> </ul> <h2>Applications</h2> <p>Nonlinear equations arise in various fields, including physics, engineering, economics, and biology. They are used to model complex relationships and phenomena that cannot be described by linear equations.</p> <p>Understanding nonlinear equations and their solutions is crucial for analyzing and solving problems in many scientific and engineering disciplines.</p> </div>	Nieliniowa równanie jest również znane jako równanie wielomianowe. Równanie, które ma wyższy stopień (lub wykładnik) niż 1, jest rozważane nieliniowe. Takie równania są definiowane przez równanie wielomianów (o stopniu większym niż jeden) do zerowego. Są one odróżniane od równań liniowych przez ocenę związku między zmiennymi: gdy jedna zmienna (x) nie powoduje, że druga zmienna (y) zwiększa się lub zmniejsza w sposób odpowiadający wartości nachylenia, jest nieliniowa. Gdy jest wykreślona, nieliniowe równania mogą mieć formę paraboli, skrzyżowanej formy X, lub innej wariacji tych krzywych form. Nigdy jednak nie ma formy linii, stąd jej nazwa. <div style="white-space: normal;"> <h2>Typy równań nieliniowych</h2> <p>Są różne typy równań nieliniowych, w tym:</p> <ul> <li><strong>Równania wielomianowe:</strong> Równania, w których nieznane są podniesione do mocy całkowitych.</li> <li><strong>Równania wykładnicze:</strong> Równania, które obejmują funkcje wykładnicze, takie jak <math>e^x</math> lub <math>a^x</math>.</li> <li><strong>Równania trygonometryczne:</strong> Równania obejmujące funkcje trygonometryczne jak sinus, cosinus, czy tangens.</li> <li><strong>Równania logarytmiczne:</strong> Równania, które obejmują funkcje logarytmiczne, takie jak <math>\log(x)</math> lub <math>\ln(x)</math>.</li> <li><strong>Równania racjonalne:</strong> Równania zawierające funkcje racjonalne, gdzie nieznane są w liczniku lub mianowniku ułamków.</li> </ul> <h2>Rozwiązywanie równań nieliniowych</h2> <p>Rozwiązanie równań nieliniowych może być trudne i często wymaga numerycznych lub iteracyjnych metod, ponieważ rozwiązania zamknięte mogą nie istnieć.</p> <p>Popularne techniki rozwiązywania równań nieliniowych obejmują:</p> <ul> <li>Metody graficzne</li> <li>Metody numeryczne, takie jak metoda Newtona lub metoda secant</li> <li>Metody iteracyjne, takie jak iteracja punktu stałego lub metoda bisekcji</li> </ul> <h2>Zastosowania</h2> <p>Równania nieliniowe występują w różnych dziedzinach, takich jak fizyka, inżynieria, ekonomia i biologia. Są używane do modelowania złożonych zależności i zjawisk, które nie mogą być opisane przez równania liniowe.</p> <p>Zrozumienie równań nieliniowych i ich rozwiązań jest kluczowe dla analizowania i rozwiązywania problemów w wielu naukach i dziedzinach inżynierii.</p> </div>
DeMoivreFormula	De Moivre formula	Formuła De Moivre'a
DeMoivreFormulaContent	De Moivre’s formula, also called de Moivre’s theorem or de Moivre’s identity, is used to determine the nth power of a complex number. It states that if n is any integer and x is a real number, then <math>(cos(x) + i sin(x))^n = cos(nx) + i sin(nx)</math>, where i is the imaginary unit <math>(i^2 = −1)</math>. The expression <math>cos(x) + i sin(x)</math> is sometimes reduced to <math>cis(x)</math>. De Moivre’s formula is a direct method for solving problems involving powers of complex numbers. In an extended form, it can be used to find the nth roots of a complex number.	Formuła De Moivre'a, nazywana także twierdzeniem De Moivre'a, służy do wyznaczania nth potęgi liczby zespolonej. Stanowi, że jeżeli n jest dowolną liczbą całkowitą, a x jest liczbą rzeczywistą, to <math>(cos(x) + i sin(x))^n = cos(nx) + i sin(nx)</math>, gdzie i jest jednostką urojoną <math>(i^2 = −1)</math>. Wyrażenie <math>cos(x) + i sin(x)</math> jest czasami zapisywane w skróconej formie <math>cis(x)</math>. Formuła De Moivre'a to bezpośrednia metoda rozwiązywania problemów związanych z potęgami liczb zespolonych. W rozbudowanej formie może być używana do znajdowania nth pierwiastków liczby zespolonej.
ScientificNotation	Scientific notation	Notacja naukowa
ScientificNotationContent	Scientific notation, also referred to as scientific form, standard index form, or standard form, is a way of writing very large or very small numbers without having to write out every digit. This is written as a number between <math>1</math> and <math>10</math> multiplied by a power of <math>10</math> and is represented by the formula:<br> <span class="formula-look"><math>a\cdot10^b</math></span><br> In which <math>1≤a<10<math>.<br> The power that <math>10</math> is raised to can be thought of as the number of places to the right (when the power is positive) or left (when the power is negative) that the decimal point needs to move.<br><br> For example:<br> <math>5.6\cdot10^9</math> is the scientific notation of <math>5,600,000,000</math>, where the decimal point moves nine places to the right. <math>5\cdot10^-9</math> is the scientific notation of <math>0.000000005</math>, where the decimal point moves nine places to the left.	Notacja naukowa, nazywana również formą naukową, formą indeksu standardowego, lub formą standardową, to sposób zapisywania bardzo dużych lub bardzo małych liczb bez konieczności zapisywania wszystkich cyfr. Jest to zapisane jako liczba pomiędzy <math>1</math> a <math>10</math> pomnożona przez potęgę <math>10</math> i jest reprezentowana przez formułę:<br> <span class="formula-look"><math>a\cdot10^b</math></span><br> W której <math>1≤a<10<math>.<br> Potęga, do której podnosi się <math>10</math>, może być traktowana jako ilość miejsc, o które trzeba przesunąć przecinek w prawo (gdy potęga jest dodatnia) lub w lewo (gdy potęga jest ujemna).<br><br> Na przykład:<br> <math>5.6\cdot10^9</math> to notacja naukowa liczby <math>5,600,000,000</math>, gdzie przecinek przesuwa się dziewięć miejsc w prawo. <math>5\cdot10^-9</math> to notacja naukowa liczby <math>0.000000005</math>, gdzie przecinek przesuwa się dziewięć miejsc w lewo.
SolvingQuadraticEquationsByCompletingTheSquare	Solving quadratic equations by completing the square	Rozwiązanie równań kwadratowych przez dopełnienie do kwadratu
SolvingQuadraticEquationsByCompletingTheSquareContent	Like factoring (solver coming soon) and <a target="_blank" href="https://www.tiger-algebra.com/en/terms-and-topics/solving-quadratic-equations-using-the-formula/">the quadratic formula</a>, completing the square is a method used to solve quadratic equations.<br> The standard form of a quadratic equation is <math>ax^2+bx+c=0</math> , in which <math>a</math>, <math>b</math> and <math>c</math> represent the coefficients and <math>x</math> represents an unknown variable.<br> To complete the square, we first turn the quadratic equation into a perfect square trinomial (described below) and then solve to find its square root.<br><br> So, what exactly is a perfect square trinomial? If a perfect square is the product of a number or expression that is multiplied by itself, such as <math>9</math>, which is the product of <math>3·3</math>, and a trinomial is an algebraic expression with three terms, such as <math>2x^2+4x–7</math>, then it is safe to assume a perfect square trinomial would be an algebraic expression with three terms that is also the product of a binomial multiplied by itself, such as <math>(x+4)·(x+4)=x^2+8x+16</math>.<br><br> It is important to note that if the second term of the equation, <math>bx</math>, is missing, then we cannot complete the square and need to use another method, such as <a target="_blank" href="https://www.tiger-algebra.com/en/terms-and-topics/solving-quadratic-equations-using-the-formula/">the quadratic formula</a>, to solve the equation.<br><br> Enter your quadratic equation into Tiger’s calculator and the step-by-step solution will help you understand how to solve quadratic equations by completing the square.	Podobnie jak faktoryzowanie (rozwiązanie wkrótce) i <a target="_blank" href="https://www.tiger-algebra.com/en/terms-and-topics/solving-quadratic-equations-using-the-formula/">wzór kwadratowy</a>, dopełnienie do kwadratu jest metoda stosowana do rozwiązania równań kwadratowych.<br> Standardowa forma równania kwadratowego to <math>ax^2+bx+c=0</math> , w którym <math>a</math>, <math>b</math> i <math>c</math> reprezentują współczynniki, a <math>x</math> reprezentuje nieznaną zmienną.<br> Aby dopełnić do kwadratu, najpierw przekształcamy równanie kwadratowe w trynom pochodzący z kwadratu (opisano poniżej), a następnie rozwiązujemy, aby znaleźć jego pierwiastek kwadratowy.<br><br> Czym dokładnie jest trynom pochodzący z kwadratu? Jeśli kwadrat doskonały jest iloczynem liczby lub wyrażenia, które jest mnożone przez siebie, takie jak <math>9</math>, który jest iloczynem <math>3·3</math>, a trynom jest wyrażeniem algebraicznym składającym się z trzech terminów, takie jak <math>2x^2+4x–7</math>, to można założyć, że trynom pochodzący z kwadratu to wyrażenie algebraiczne składające się z trzech terminów, które jest również iloczynem dwuczłonu mnożonego przez siebie, takiego jak <math>(x+4)·(x+4)=x^2+8x+16</math>.<br><br> Warto zauważyć, że jeśli drugi człon równania, <math>bx</math>, jest nieobecny, to nie możemy dopełnić do kwadratu i musimy zastosować inną metodę, taką jak <a target="_blank" href="https://www.tiger-algebra.com/en/terms-and-topics/solving-quadratic-equations-using-the-formula/">wzór kwadratowy</a>, aby rozwiązać równanie.<br><br> Wprowadź swoje równanie kwadratowe do kalkulatora Tiger, a rozwiązanie krok po kroku pomoże Ci zrozumieć, jak rozwiązywać równania kwadratowe poprzez dopełnienie do kwadratu.
SolvingQuadraticEquationsUsingTheFormula	Solving quadratic equations using the quadratic formula	Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą wzoru kwadratowego
SolvingQuadraticEquationsUsingTheFormulaContent	The solution(s), sometimes called roots or zeros, to a quadratic equation in its standard form, <math>ax2+bx+c=0</math>, can be found by plugging the equation's coefficients, a, b, and c, into the quadratic formula:<br> <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}</math><br> When plugged back into the original equation, these roots cause the equation to equal zero.<br><br>As the ± sign in the quadratic formula suggests, there can be two possible solutions, depending on the outcome of the formula's discriminant, <math>b^2-4ac</math>, the part of the quadratic formula under the radical symbol. The binomial, <math>b^2-4ac</math>, is called the discriminant because it discriminates between the possible solutions. <ul> <li>If <math>b^2-4ac>0</math> then the equation has two solutions.</li> <li>If <math>b^2-4ac=0</math> then the equation has one solution.</li> <li>If <math>b^2-4ac<0</math> then the equation has two complex numbers solutions. If you have not studied this topic yet, then you can probably assume there are no solutions for this equation.</li><br> <img src="/images/quadratic-equations-graph1.png" alt="Solving quadratic equations via formula">	Rozwiązanie (rozwiązania), czasami nazywane korzeniami lub zerami, równania kwadratowego w formie standardowej, <math>ax2+bx+c=0</math>, można znaleźć, podstawiając do wzoru kwadratowego współczynniki równania, a, b, c:<br> <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}</math><br> Gdy podstawimy z powrotem do oryginalnego równania, te korzenie spowodują, że równanie wynosi zero.<br><br>Znak ± we wzorze kwadratowym sugeruje, że mogą wystąpić dwa możliwe rozwiązania, w zależności od wyniku dyskryminanta wzoru, <math>b^2-4ac</math>, części wzoru kwadratowego pod symbolem pierwiastka. Dwumian, <math>b^2-4ac</math>, nazywany dyskryminantem, ponieważ rozróżnia możliwe rozwiązania. <ul> <li>Jeśli <math>b^2-4ac>0</math>, to równanie ma dwa rozwiązania.</li> <li>Jeśli <math>b^2-4ac=0</math> to równanie ma jedno rozwiązanie.</li> <li>Jeśli <math>b^2-4ac<0</math> to równanie ma dwa rozwiązania, które są liczbami zespolonymi. Jeśli jeszcze nie studiowałeś(aś) tego tematu, prawdopodobnie można założyć, że równanie nie ma rozwiązania.</li><br> <img src="/images/quadratic-equations-graph1.png" alt="Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą wzoru">
OrderOfOperations	Order of operations	Kolejność wykonywania działań

Key	English	Polish
QIVFSStep8TextUnit1	Since {Step8InequalityInput} has a {Step8Inequality} inequality sign, we look for the parabola intervals that are above the x-axis.	Ponieważ {Step8InequalityInput} ma znak nierówności {Step8Inequality}, szukamy przedziałów paraboli, które są powyżej osi x.
QIVFSStep8TextUnit2	Since {Step8InequalityInput} has a {Step8Inequality} inequality sign, we look for the parabola intervals that are below the x-axis.	Ponieważ {Step8InequalityInput} ma znak nierówności {Step8Inequality}, szukamy przedziałów paraboli, które są poniżej osi x.
QIVFSStep8TextUnit3	Solution: {Step8SolutionInequalityNotation}	Rozwiązanie: {Step8SolutionInequalityNotation}
QIVFSStep8TextUnit4	Interval notation: {Step8SolutionIntervalNotation}	Notacja przedziałów: {Step8SolutionIntervalNotation}
QIVFSStep8Title1	Choose the correct interval (solution)	Wybierz poprawny przedział (rozwiązanie)
QIVFSStepFinalSpokenDescription	The final result is {SolutionFinalResult}	Końcowym wynikiem jest {SolutionFinalResult}
QuadraticEquations	Quadratic Equations	Równania kwadratowe
QuadraticEquationsFormattingGuide	<p>Quadratic equations with one unknown look like this:</p> <p>ax<sup>2</sup>+bx+c=0</p> <h4>Common issues:</h4> <p>Don’t forget a variable! A variable can be any letter of the Latin alphabet, such as y, w, t or R.</p> <p>For example<br> 5W<sup>2</sup>+6W+4=0</p> <p>Don’t do this:<br> 11<sup>2</sup>+25-24</p> <h3>Examples</h3> <ul> <li><a href=/en/solution/quadratic-equationsby-completing-the-square/2x%5E2-14x-120=0/">2x<sup>2</sup>-14x-120 = 0</a></li> <li><a href="/en/solution/quadratic-equationsby-completing-the-square/480-68a+2a%5E2/">480-68a+2a<sup>2</sup></a></li> <li><a href="/en/solution/quadratic-equationsby-completing-the-square/16m%5E2+8m=0/">16m<sup>2</sup>+8m=0</a></li> <li><a href="/en/solution/quadratic-equationsby-completing-the-square/9-4x%5E2=-27/">9-4x<sup>2</sup>=-27</a></li> </ul>	<p>Równania kwadratowe z jedną niewiadomą wyglądają tak:</p> <p>ax<sup>2</sup>+bx+c=0</p> <h4>Typowe problemy:</h4> <p>Nie zapomnij o zmiennej! Zmienna może być dowolną literą alfabetu łacińskiego, na przykład y, w, t lub R.</p> <p>Przykładowo<br> 5W<sup>2</sup>+6W+4=0</p> <p>Nie rób tak:<br> 11<sup>2</sup>+25-24</p> <h3>Przykłady</h3> <ul> <li><a href=/en/solution/quadratic-equationsby-completing-the-square/2x%5E2-14x-120=0/">2x<sup>2</sup>-14x-120 = 0</a></li> <li><a href="/en/solution/quadratic-equationsby-completing-the-square/480-68a+2a%5E2/">480-68a+2a<sup>2</sup></a></li> <li><a href="/en/solution/quadratic-equationsby-completing-the-square/16m%5E2+8m=0/">16m<sup>2</sup>+8m=0</a></li> <li><a href="/en/solution/quadratic-equationsby-completing-the-square/9-4x%5E2=-27/">9-4x<sup>2</sup>=-27</a></li> </ul>
QuadraticEquationsViaFormulaSolver	Solving quadratic equations using the quadratic formula	Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą wzoru kwadratowego
QuadraticEquationsViaFormulaSolver.plugin	solving quadratic equations using the quadratic formula	rozwiązanie równań kwadratowych za pomocą wzoru kwadratowego
QuadraticInequalities	Quadratic Inequalities	Nierówności kwadratowe
QuadraticInequalitiesContent	Quadratic inequalities are almost exactly the same as quadratic equations; the main difference is that quadratic inequalities have an inequality sign and quadratic equations have an equal sign. While quadratic equations' solutions represent the roots, or x-intercepts, of parabolas, quadratic inequalities' solutions represent the intervals between parabolas' roots on a graph. <br> There are several standard forms that quadratic inequalities can take. They are: <math>ax^2+bx+c>0</math> <math>ax^2+bx+c≥0</math> <math>ax^2+bx+c<0</math> <math>ax^2+bx+c≤0</math> <br> In these forms, <math>a</math>, <math>b</math> and <math>c</math> represent coefficients and <math>x</math> represents a variable that falls within the interval described by the inequality and, when substituted in place of <math>x</math>, renders a true mathematical statement (for example, <math>-2<0</math>). In order to find these intervals, we need to first understand where the parabola's roots are located. This can be determined using factorization or <a href="/en/terms-and-topics/solving-quadratic-equations-using-the-formula/">the quadratic formula</a>. Lastly, we need to decide in which of the intervals <math>x</math> correctly solves the inequality. <br> <img src="/images/quadraticInequalitiesGraph1.png" alt="circle graph"> <br> If the sign in the inequality is ≤ or ≥ then its roots are included in the interval and its parabola is drawn on a graph with a solid line. If the sign of the inequality is < or > then its roots are not included in the interval and its parabola is drawn on a graph with a dotted line. <br> When solving an inequality (much like when solving an equation), anything you do to one side of the inequality, you must also do to the other side of the inequality. <br> <a href="/en/solution/quadratic-inequalities/x%5E2%2B4x-5<4/">Learn how to solve quadratic inequalities</a>	Nierówności kwadratowe są prawie dokładnie takie same jak równania kwadratowe; główna różnica polega na tym, że nierówności kwadratowe mają znak nierówności, a równania kwadratowe mają znak równości. Podczas gdy rozwiązania równań kwadratowych reprezentują pierwiastki, czyli miejsca zerowe parabol, rozwiązania nierówności kwadratowych reprezentują przedziały między miejscami zerowymi parabol na wykresie. <br> Nierówności kwadratowe mogą przyjmować kilka standardowych form. Są to: <math>ax^2+bx+c>0</math> <math>ax^2+bx+c≥0</math> <math>ax^2+bx+c<0</math> <math>ax^2+bx+c≤0</math> <br> W tych formach, <math>a</math>, <math>b</math> i <math>c</math> reprezentują współczynniki, a <math>x</math> reprezentuje zmienną, która wpada w przedział opisany przez nierówność i, gdy jest podstawiona za <math>x</math>, daje prawdziwe twierdzenie matematyczne (na przykład, <math>-2<0</math>). Aby znaleźć te przedziały, musimy najpierw zrozumieć, gdzie znajdują się miejsca zerowe paraboli. Można to ustalić za pomocą factorizacji lub <a href="/en/terms-and-topics/solving-quadratic-equations-using-the-formula/">formuły kwadratowej</a>. Na koniec musimy zdecydować, w którym z przedziałów <math>x</math> poprawnie rozwiązuje nierówność. <br> <img src="/images/quadraticInequalitiesGraph1.png" alt="circle graph"> <br> Jeśli znak w nierówności to ≤ lub ≥, to jego miejsca zerowe są zawarte w przedziale, a jego parabola jest rysowana na wykresie pełną linią. Jeśli znak nierówności to < lub >, to jego miejsca zerowe nie są zawarte w przedziale, a jego parabola jest rysowana na wykresie kropkowaną linią. <br> Podczas rozwiązywania nierówności (podobnie jak podczas rozwiązywania równań), wszystko, co robisz po jednej stronie nierówności, musisz zrobić też po drugiej stronie nierówności. <br> <a href="/en/solution/quadratic-inequalities/x%5E2%2B4x-5<4/">Dowiedz się, jak rozwiązywać nierówności kwadratowe</a>
QuadraticInequalitiesSolver	Solving quadratic inequalities using the quadratic formula	Rozwiązanie nierówności kwadratowych za pomocą wzoru kwadratowego
QuadraticInequalitiesSolver.plugin	solving quadratic inequalities using the quadratic formula	rozwiązanie nierówności kwadratowych za pomocą wzoru kwadratowego
RaisingtoaPower	Raising to a power	Podnoszenie do potęgi
RaisingtoaPowerContent	Raising to a power, or exponentiation, is the process of multiplying a base value b by itself the number of times given by the exponent n in the term b^n. <br><br> So, for example, <math>3^4</math> is the same as <math>3 x 3 x 3 x 3</math>, which equals <math>81</math>. <br><br> This is spoken as “three to the fourth power” or “three to the fourth”. There are two exceptions to this: The power of two is generally called “squared” so <math>3^2</math> is “three squared”. The power of three is referred to as “cubed” so <math>3^3</math> is “three cubed”. <br><br> Exponents are especially useful when dealing with variables, such as <math>x^3</math>. There are a few rules in simplifying several variables raised to a power in one expression. <br><br> When two terms with the same base are multiplied, the exponents are added: <math>(b^n)(b^m) = b^(n+m)</math> <br><br> When raising a power to a power, the exponents are multiplied with each other: <math>(b^n)^m = b^(n*m)</math> In other words, if the entire expression <math>b^n</math> is raised to the power of <math>^m</math>, the new power of b is the product of n multiplied by m. <br><br> Any number to the power of zero equals 1, as long as the base value itself is not 0. <br><br> Enter your problem into Tiger’s calculator and the step-by-step solution will help you understand how to raise a number or an expression to a power.	Podnoszenie do potęgi, czyli eksponencja, to proces mnożenia wartości podstawowej b przez samą siebie tyle razy, ile wynosi wykładnik n w wyrażeniu b^n. <br><br> Tak więc, na przykład, <math>3^4</math> to to samo co <math>3 x 3 x 3 x 3</math>, co daje wynik <math>81</math>. <br><br> Mówimy o tym jako “trzy do potęgi czwartej”. Istnieją dwie wyjątki od tej zasady: potęga druga zazwyczaj nazywana jest “kwadratem”, więc <math>3^2</math> to “trzy kwadraty”. Potęga trzecia zwykle określana jest mianem “sześcianu”, więc <math>3^3</math> to “trzy sześciany”. <br><br> Wykładniki są szczególnie przydatne przy pracy z zmiennymi, takimi jak <math>x^3</math>. Istnieje kilka zasad upraszczania wielu zmiennych podniesionych do potęgi w jednym wyrażeniu. <br><br> Gdy mnożymy dwa wyrazy o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki: <math>(b^n)(b^m) = b^(n+m)</math> <br><br> Podnosząc potęgę do potęgi, mnożymy wykładniki: <math>(b^n)^m = b^(n*m)</math> Innymi słowy, jeśli całe wyrażenie <math>b^n</math> podniesiemy do potęgi <math>^m</math>, nową potęgą b jest iloczyn n pomnożony przez m. <br><br> Każda liczba podniesiona do potęgi zero wynosi 1, o ile sama wartość podstawy nie jest 0. <br><br> Wpisz swoje zadanie do kalkulatora Tiger’s i krok po kroku uzyskasz rozwiązanie, które pomoże Ci zrozumieć, jak podnieść liczbę lub wyrażenie do potęgi.
Range	Range	Zakres
ReducingFractionsToLowestTerms	Reducing fractions to lowest terms	Zmniejszanie ułamków do najniższych warunków
ReducingFractionsToLowestTermsContent	A fraction is in lowest terms when the numerator and denominator have no common factor other than 1. For example, if we examine the fraction <math>25/50</math>, we can reduce this fraction by dividing both the numerator and denominator by their common factor, 25. <math>25/25=1</math> and <math>50/25=2</math> then <math>25/50=1/2</math>. which is a fraction in its lowest terms.	Ułamek jest w najniższych warunkach, gdy licznik i mianownik nie mają wspólnego czynnika inaczej niż 1. Na przykład, jeśli przyjrzećmy się ułamkowi <math>25/50</math>, możemy zredukować ten ułamek dzieląc zarówno licznik, jak i mianownik przez ich wspólny czynnik, 25. <math>25/25=1</math> i <math>50/25=2</math> stąd <math>25/50=1/2</math>. Co jest ułamkiem w jego najniższych warunkach.
RelatedLinks	Related links	Powiązane linki
ResultsFound	Solution	Rozwiązanie
ResultTypeMixedFractionForm	Mixed number form:	Forma liczby mieszanej:
ResultValue	{0}	{0}
RomanNumeralToInteger	Roman numeral to integer	Liczba rzymska na liczbę całkowitą
RomanNumeralToInteger.plugin	roman numeral to integer	liczba rzymska na liczbę całkowitą
RomanNumeralToIntegerStep1TextUnit1	Your input was cleaned into standard Roman numeral form: <math>{originalInput}</math> → <math>{normalizedRoman}</math>.	Usuń spacje i zamień liczbę rzymską na wielkie litery: <math>{originalInput}</math> → <math>{normalizedRoman}</math>.
RomanNumeralToIntegerStep1Title1	Clean up the input	Normalizacja wejścia
RomanNumeralToIntegerStep2TextUnit1	Read left to right.<br>If a smaller symbol comes before a larger one, treat them as one subtractive pair (for example, IX = 9).<br>Otherwise, each symbol stands alone.<br><br>For this input we get:<br><br><math>{expandedValues}</math>	Rozwiń symbole/pary odejmowania do wartości: <br><br><math>{expandedValues}</math>
RomanNumeralToIntegerStep2Title1	Expand symbols	Rozwiń symbole
RomanNumeralToIntegerStep3TextUnit1	Now add the values:<br><math>{sumExpression}</math> = <math>{integerResult}</math>.<br><br>So <math>{normalizedRoman}</math> equals <math>{integerResult}</math>.	Zsumuj wartości: <math>{sumExpression}</math> = <math>{integerResult}</math>. Zatem <math>{normalizedRoman}</math> równa się <math>{integerResult}</math>.

Loading…

None

String added in the repository

English

Polish 1347 characters edited Current translation Translated

9 hours ago

Browse all string changes

Things to check

Consecutive duplicated words

Text contains the same word twice in a row: to

Reset

Glossary

English	Polish
No related strings found in the glossary.

String information

Key

RaisingtoaPowerContent

String age

9 hours ago

Last updated

9 hours ago

Source string age

10 hours ago

Translation file

core/TigerAlgebra.Localization/Resources/TigerSharedResource.pl.resx, string 517