Zen

Translation

SolvingQuadraticEquationsByCompletingTheSquareContent
English
Like factoring (solver coming soon) and <a target="_blank" href="https://www.tiger-algebra.com/en/terms-and-topics/solving-quadratic-equations-using-the-formula/">the quadratic formula</a>, completing the square is a method used to solve quadratic equations.<br>
The standard form of a quadratic equation is <math>ax^2+bx+c=0</math> , in which <math>a</math>, <math>b</math> and <math>c</math> represent the coefficients and <math>x</math> represents an unknown variable.<br>
To complete the square, we first turn the quadratic equation into a perfect square trinomial (described below) and then solve to find its square root.<br><br>

So, what exactly is a perfect square trinomial? If a perfect square is the product of a number or expression that is multiplied by itself, such as <math>9</math>, which is the product of <math>3·3</math>, and a trinomial is an algebraic expression with three terms, such as <math>2x^2+4x–7</math>, then it is safe to assume a perfect square trinomial would be an algebraic expression with three terms that is also the product of a binomial multiplied by itself, such as <math>(x+4)·(x+4)=x^2+8x+16</math>.<br><br>
It is important to note that if the second term of the equation, <math>bx</math>, is missing, then we cannot complete the square and need to use another method, such as <a target="_blank" href="https://www.tiger-algebra.com/en/terms-and-topics/solving-quadratic-equations-using-the-formula/">the quadratic formula</a>, to solve the equation.<br><br>

Enter your quadratic equation into Tiger’s calculator and the step-by-step solution will help you understand how to solve quadratic equations by completing the square.
1637/16680 · 1668

Sign in to save the translation.

Key English Ukrainian Actions
PullingOutLikeTerms
Pulling out like terms
Винесення подібних членів
PullingOutLikeTermsContent
<div style="white-space: normal;">
<p>When simplifying algebraic expressions, one of the fundamental techniques is pulling out like terms. Like terms are those that have the same variables raised to the same powers. Here's how you can do it:</p>
<h2>Step 1: Identify Like Terms</h2>
<p>Scan through the expression and identify terms that have the same variables and the same powers. For example, in the expression <math>3x + 2y - 5x + 4y</math>, the terms <math>3x</math> and <math>-5x</math> are like terms because they both have the variable <math>x</math> raised to the power of 1.</p>
<h2>Step 2: Combine Like Terms</h2>
<p>Once you've identified like terms, you can combine them by adding or subtracting their coefficients. For example, in the expression <math>3x + 2y - 5x + 4y</math>, combining the like terms gives us <math>(3x - 5x) + (2y + 4y)</math>, which simplifies to <math>-2x + 6y</math>.</p>
<h2>Step 3: Simplify the Expression</h2>
<p>After combining like terms, simplify the expression further if possible. In our example, <math>-2x + 6y</math> cannot be simplified any further because there are no more like terms to combine.</p>
<p>Remember, pulling out like terms is crucial for simplifying algebraic expressions and making them easier to work with.</p>
</div>
<div style="white-space: normal;">
<p>При спрощенні алгебраїчних виразів одне з основних методів - це винесення подібних членів. Подібні члени мають ті ж самі змінні, піднесені до одного й того ж степеня. Ось як це робиться:</p>
<h2>Крок 1: Визначте подібні члени</h2>
<p>Пройдіться по виразу і визначіть терміни, в яких є однакові змінні і однакові степені. Наприклад, в виразі <math>3x + 2y - 5x + 4y</math>, терміни <math>3x</math> та <math>-5x</math> є подібними, оскільки обидва мають змінну <math>x</math>, піднесену до степеня 1.</p>
<h2>Крок 2: Об'єднайте подібні члени</h2>
<p>Після визначення подібних членів, ви можете об'єднати їх, додавши або віднявши їхні коефіцієнти. Наприклад, в виразі <math>3x + 2y - 5x + 4y</math>, об'єднання подібних членів дає нам <math>(3x - 5x) + (2y + 4y)</math>, що спрощується до <math>-2x + 6y</math>.</p>
<h2>Крок 3: Спростіть вираз</h2>
<p>Після об'єднання подібних членів, якщо можливо, далі спрощуйте вираз. В нашому прикладі, <math>-2x + 6y</math> не може бути додатково спрощений, оскільки більше немає подібних членів для об'єднання.</p>
<p>Пам'ятайте, винесення подібних членів критично для спрощення алгебраїчних виразів та полегшення їх обробки.</p>
</div>
RaisingtoaPower
Raising to a power
Піднесення до степеня
RaisingtoaPowerContent
Raising to a power, or exponentiation, is the process of multiplying a base value b by itself the number of times given by the exponent n in the term b^n.
<br><br>
So, for example, <math>3^4</math> is the same as <math>3 x 3 x 3 x 3</math>, which equals <math>81</math>.
<br><br>
This is spoken as “three to the fourth power” or “three to the fourth”. There are two exceptions to this: The power of two is generally called “squared” so <math>3^2</math> is “three squared”. The power of three is referred to as “cubed” so <math>3^3</math> is “three cubed”.
<br><br>
Exponents are especially useful when dealing with variables, such as <math>x^3</math>. There are a few rules in simplifying several variables raised to a power in one expression.
<br><br>
When two terms with the same base are multiplied, the exponents are added:
<math>(b^n)(b^m) = b^(n+m)</math>
<br><br>
When raising a power to a power, the exponents are multiplied with each other:
<math>(b^n)^m = b^(n*m)</math>
In other words, if the entire expression <math>b^n</math> is raised to the power of <math>^m</math>, the new power of b is the product of n multiplied by m.
<br><br>
Any number to the power of zero equals 1, as long as the base value itself is not 0.
<br><br>
Enter your problem into Tiger’s calculator and the step-by-step solution will help you understand how to raise a number or an expression to a power.
Піднесення до степеня, або піднесення до степеня, - це процес множення основи b самою собою заданої кількості разів за допомогою показника n у терміні b^n.
<br><br>
Так, наприклад, <math>3^4</math> це те ж саме, що і <math>3 х 3 х 3 х 3</math>, що дорівнює <math>81</math>.
<br><br>
Це говорять так: "три в четвертому степені" або просто "три в четвертому". Є два винятки з цього: ступінь двоє зазвичай називають "в квадраті", тож <math>3^2</math> це "три в квадраті". Ступінь трьох називається "в кубі", тож <math>3^3</math> це "три в кубі".
<br><br>
Показники особливо корисні при роботі зі змінними, такими як <math>x^3</math>. Існує декілька правил спрощення декількох змінних, що піднімаються до степеня в одному виразі.
<br><br>
Коли два терміни з однаковою основою множаться, показники додаються:
<math>(b^n)(b^m) = b^(n+m)</math>
<br><br>
Коли показник підноситься до показника, показники множаться між собою:
<math>(b^n)^m = b^(n*m)</math>
Иншими словами, якщо весь вираз <math>b^n</math> підноситься до степеня <math>^m</math>, то новий показник b - це добуток n, помноженого на m.
<br><br>
Будь-яке число в степені нуля дорівнює 1, якщо тільки основна величина сама не дорівнює 0.
<br><br>
Введіть свою проблему в калькулятор Tiger, і крок за кроком ви отримаєте рішення, яке допоможе вам зрозуміти, як піднести число або вираз до степеня.
ReducingFractionsToLowestTerms
Reducing fractions to lowest terms
Зведення дробів до найнижчих умов
ReducingFractionsToLowestTermsContent
A fraction is in lowest terms when the numerator and denominator have no common factor other than 1.
For example, if we examine the fraction <math>25/50</math>, we can reduce this fraction by dividing both the numerator and denominator by their common factor, 25.
<math>25/25=1</math> and <math>50/25=2</math> then <math>25/50=1/2</math>. which is a fraction in its lowest terms.
Дріб в найнижчих умовах, коли його чисельник та знаменник не мають спільних дільників окрім 1. Наприклад, розглядаючи дріб <math>25/50</math>, ми можемо скоротити цей дріб, поділивши чисельник та знаменник на їхній спільний дільник, 25. <math>25/25=1</math> та <math>50/25=2</math>, отже, <math>25/50=1/2</math>. це дріб в його найнижчих умовах.
SimplifyingRadicals
Simplifying radicals
Спрощення радикалів
SimplifyingRadicalsContent
A Square Root Radical is said to be simplified, or in its simplest form, when the radicand has no square factors.
<br><br>
Consider <math>sqrt(55)</math>, for example, has no square factors. Its factors are 5 and 11 <math>(5*11=55)</math>, neither of which is a square number. Therefore, it is in its simplest form.
<br><br>
In contrast <math>sqrt(200)</math>, has the square factor 100. <math>(200 = 100 * 2)</math>. Therefore, it is not in its simplest form. To get the simplest form <math>sqrt(200)=sqrt(100)*sqrt(2)=10*sqrt(2)</math>
Радикал квадратного кореня вважається спрощеним або в найпростішій формі, коли у радиканду немає квадратних множників. Наприклад, <math>sqrt(55)</math> не має квадратних множників. Його множники - це 5 та 11 <math>(5*11=55)</math>, жоден з яких не є квадратним числом. Тому він є в своїй найпростішій формі. Навпаки, <math>sqrt(200)</math> має квадратний множник 100. <math>(200 = 100 * 2)</math>. Тому він не є в своїй найпростішій формі. Щоб отримати найпростішу форму, <math>sqrt(200)=sqrt(100)*sqrt(2)=10*sqrt(2)</math>
NonLinearEquations
Nonlinear equations
Нелінійні рівняння
NonLinearEquationsContent

A nonlinear equation is also known as a polynomial equation. An equation that has a degree (or exponent) higher than 1 is considered nonlinear. Such equations are defined by equating polynomials (of a degree greater than one) to zero. They are differentiated from linear equations by evaluating the relationship between variables: when one variable (x) does not cause the other variable (y) to increase or decrease in a way corresponding to the slope’s value, it is nonlinear. When graphed, nonlinear equations may have the form of a parabola, a curved X shape, or some variation of these curved forms. It never, however, takes the form of a line, hence its name.
<div style="white-space: normal;">
<h2>Types of Nonlinear Equations</h2>
<p>There are various types of nonlinear equations, including:</p>
<ul>
<li><strong>Polynomial equations:</strong> Equations where the unknowns are raised to integer powers.</li>
<li><strong>Exponential equations:</strong> Equations involving exponential functions, such as <math>e^x</math> or <math>a^x</math>.</li>
<li><strong>Trigonometric equations:</strong> Equations involving trigonometric functions like sine, cosine, or tangent.</li>
<li><strong>Logarithmic equations:</strong> Equations involving logarithmic functions, such as <math>\log(x)</math> or <math>\ln(x)</math>.</li>
<li><strong>Rational equations:</strong> Equations containing rational functions, where the unknowns are in the numerator or denominator of fractions.</li>
</ul>
<h2>Solving Nonlinear Equations</h2>
<p>Solving nonlinear equations can be challenging and often requires numerical or iterative methods since closed-form solutions may not exist.</p>
<p>Common techniques for solving nonlinear equations include:</p>
<ul>
<li>Graphical methods</li>
<li>Numerical methods like Newton's method or the secant method</li>
<li>Iterative methods like fixed-point iteration or the bisection method</li>
</ul>
<h2>Applications</h2>
<p>Nonlinear equations arise in various fields, including physics, engineering, economics, and biology. They are used to model complex relationships and phenomena that cannot be described by linear equations.</p>
<p>Understanding nonlinear equations and their solutions is crucial for analyzing and solving problems in many scientific and engineering disciplines.</p>
</div>

Нелінійне рівняння також відоме як поліноміальне рівняння. Рівняння, що має ступінь (або експоненту) вищу за 1, вважається нелінійним. Такі рівняння визначаються зводженням поліноміалів (ступеня вище одиниці) до нуля. Вони відрізняються від лінійних рівнянь, оцінюючи взаємозв'язок між змінними: коли одна змінна (x) не змушує іншу змінну (y) збільшуватись або зменшуватись відповідно до значення нахилу, воно є нелінійним. При розробці графіків нелінійні рівняння можуть мати форму параболи, кривої форми X або якогось варіанту цих кривих форм. Вони ніколи, однак, не приймають форму лінії, отже їх назва.
<div style="white-space: normal;">
<h2>Типи нелінійних рівнянь</h2>
<p>Існує кілька типів нелінійних рівнянь, включаючи:</p>
<ul>
<li><strong>Поліноміальні рівняння:</strong> Рівняння, в яких невідомі піднесені до степенів цілих чисел.</li>
<li><strong>Експоненціальні рівняння:</strong> Рівняння з експоненціальними функціями, такими як <math>e^x</math> або <math>a^x</math>.</li>
<li><strong>Тригонометричні рівняння:</strong> Рівняння, що включають тригонометричні функції, такі як сінус, косинус або тангенс.</li>
<li><strong>Логарифмічні рівняння:</strong> Рівняння, що включають логарифмічні функції, такі як <math>\log(x)</math> або <math>\ln(x)</math>.</li>
<li><strong>Раціональні рівняння:</strong> Рівняння, що містять раціональні функції, де невідомі знаходяться в чисельнику або знаменнику дробів.</li>
</ul>
<h2>Розв'язання нелінійних рівнянь</h2>
<p>Розв'язання нелінійних рівнянь може бути складним і часто потребує числових або ітеративних методів, оскільки можуть не існувати замкнені форми розв'язків.</p>
<p>Поширені техніки розв'язання нелінійних рівнянь включають:</p>
<ul>
<li>Графічні методи</li>
<li>Числові методи, такі як метод Ньютона або метод січних</li>
<li>Ітеративні методи, такі як метод нерухомої точки або метод бисекції</li>
</ul>
<h2>Застосування</h2>
<p>Нелінійні рівняння виникають у різних галузях, включаючи фізику, інженерію, економіку та біологію. Вони використовуються для моделювання складних взаємозв'язків і явищ, які не можуть бути описані лінійними рівняннями.</p>
<p>Розуміння нелінійних рівнянь та їхнього розв'язання є критично важливим для аналізу та розв'язання проблем у багатьох наукових та інженерних дисциплінах.</p>
</div>
DeMoivreFormula
De Moivre formula
Формула Де Муавра
DeMoivreFormulaContent
De Moivre’s formula, also called de Moivre’s theorem or de Moivre’s identity, is used to determine the nth power of a complex number. It states that if n is any integer and x is a real number, then <math>(cos(x) + i sin(x))^n = cos(nx) + i sin(nx)</math>, where i is the imaginary unit <math>(i^2 = −1)</math>. The expression <math>cos(x) + i sin(x)</math> is sometimes reduced to <math>cis(x)</math>. De Moivre’s formula is a direct method for solving problems involving powers of complex numbers. In an extended form, it can be used to find the nth roots of a complex number.
Формула Де Муавра, також відома як теорема або ідентичність Де Муавра, використовується для визначення n-го ступеня комплексного числа. Вона стверджує, що якщо n - це будь-яке ціле число, а x - реальне число, то <math>(cos(x) + i sin(x))^n = cos(nx) + i sin(nx)</math>, де i - вигадана одиниця <math>(i^2 = −1)</math>. Вираз <math>cos(x) + i sin(x)</math> іноді спрощують до <math>cis(x)</math>. Формула Де Муавра - це безпосередній метод для вирішення задач, що сприймають комплексні числа. У подальшого форму, вона може використовуватися для знаходження n-тих коренів комплексного числа.
ScientificNotation
Scientific notation
Наукова нотація
ScientificNotationContent
Scientific notation, also referred to as scientific form, standard index form, or standard form, is a way of writing very large or very small numbers without having to write out every digit. This is written as a number between <math>1</math> and <math>10</math> multiplied by a power of <math>10</math> and is represented by the formula:<br>
<span class="formula-look"><math>a\cdot10^b</math></span><br>
In which <math>1≤a<10<math>.<br>
The power that <math>10</math> is raised to can be thought of as the number of places to the right (when the power is positive) or left (when the power is negative) that the decimal point needs to move.<br><br>

For example:<br>
<math>5.6\cdot10^9</math> is the scientific notation of <math>5,600,000,000</math>, where the decimal point moves nine places to the right.
<math>5\cdot10^-9</math> is the scientific notation of <math>0.000000005</math>, where the decimal point moves nine places to the left.
Наукова нотація, також відома як наукова форма, стандартна індексна форма або стандартна форма, - це спосіб запису дуже великих або дуже маленьких чисел без необхідності записувати кожну цифру. Це записується як число між <math>1</math> та <math>10</math>, помножене на степінь <math>10</math>, і представлене формулою:<br>
<span class="formula-look"><math>a\cdot10^b</math></span><br>
в якому <math>1≤a<10<math>.<br>
Степінь, до якої піднімається <math>10</math>, можна вважати кількістю місць праворуч (коли ступінь позитивна) або ліворуч (коли ступінь від'ємна), куди потрібно пересунути десяткову крапку.<br><br>

Для прикладу:<br>
<math>5.6\cdot10^9</math> - це наукова нотація <math>5,600,000,000</math>, де десяткова крапка пересувається на дев'ять місць вправо.
<math>5\cdot10^-9</math> - це наукова нотація <math>0.000000005</math>, де десяткова крапка пересувається на дев'ять місць вліво.
SolvingQuadraticEquationsByCompletingTheSquare
Solving quadratic equations by completing the square
Розв'язання квадратних рівнянь шляхом доповнення до квадрата
SolvingQuadraticEquationsByCompletingTheSquareContent
Like factoring (solver coming soon) and <a target="_blank" href="https://www.tiger-algebra.com/en/terms-and-topics/solving-quadratic-equations-using-the-formula/">the quadratic formula</a>, completing the square is a method used to solve quadratic equations.<br>
The standard form of a quadratic equation is <math>ax^2+bx+c=0</math> , in which <math>a</math>, <math>b</math> and <math>c</math> represent the coefficients and <math>x</math> represents an unknown variable.<br>
To complete the square, we first turn the quadratic equation into a perfect square trinomial (described below) and then solve to find its square root.<br><br>

So, what exactly is a perfect square trinomial? If a perfect square is the product of a number or expression that is multiplied by itself, such as <math>9</math>, which is the product of <math>3·3</math>, and a trinomial is an algebraic expression with three terms, such as <math>2x^2+4x–7</math>, then it is safe to assume a perfect square trinomial would be an algebraic expression with three terms that is also the product of a binomial multiplied by itself, such as <math>(x+4)·(x+4)=x^2+8x+16</math>.<br><br>
It is important to note that if the second term of the equation, <math>bx</math>, is missing, then we cannot complete the square and need to use another method, such as <a target="_blank" href="https://www.tiger-algebra.com/en/terms-and-topics/solving-quadratic-equations-using-the-formula/">the quadratic formula</a>, to solve the equation.<br><br>

Enter your quadratic equation into Tiger’s calculator and the step-by-step solution will help you understand how to solve quadratic equations by completing the square.
Як і факторизація (скоро з'явиться розв'язок) та <a target="_blank" href="https://www.tiger-algebra.com/uk/terms-and-topics/solving-quadratic-equations-using-the-formula/">квадратне рівняння</a>, доповнення до квадрата - це метод, який використовується для розв'язання квадратних рівнянь. <br>
Стандартна форма квадратного рівняння приємає форму <math>ax^2+bx+c=0</math>, де <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> представляють коефіцієнти, а <math>x</math> представляє невідому. <br>
Щоб завершити квадрат, ми спершу перетворюємо квадратне рівняння в ідеальний трином квадрату (описаний нижче), а потім знаходимо його квадратний корінь. <br> <br>
Так що, що таке ідеальний квадратний трином? Якщо ідеальний квадрат - це добуток числа або виразу, що множиться сам на себе, наприклад, <math>9</math>, який є добутком <math>3 · 3</math>, і трином - це алгебраїчний вираз з трьома частинами, таким як <math>2x^2+4x–7</math>, то можливо припустити, що ідеальний квадратний трином був би алгебраїчний вираз з трьома частинами, який також є добутком бінома, помноженого сам на себе, наприклад, <math>(x+4) · (x+4)=x^2+8x+16</math>. <br> <br>
Важливо зауважити, якщо другий член рівняння, <math>bx</math>, відсутній, то ми не можемо завершити квадрат і потрібно використовувати інший метод, такий як <a target="_blank" href="https://www.tiger-algebra.com/uk/terms-and-topics/solving-quadratic-equations-using-the-formula/">квадратне рівняння</a>, для розв'язання рівняння. <br> <br>
Введіть своє квадратне рівняння в калькулятор Tiger, і поетапне рішення допоможе вам зрозуміти, як розв'язати квадратне рівняння, доповнюючи квадрат.
SolvingQuadraticEquationsUsingTheFormula
Solving quadratic equations using the quadratic formula
Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою квадратного рівняння
SolvingQuadraticEquationsUsingTheFormulaContent
The solution(s), sometimes called roots or zeros, to a quadratic equation in its standard form, <math>ax2+bx+c=0</math>, can be found by plugging the equation's coefficients, a, b, and c, into the quadratic formula:<br>
<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}</math><br>
When plugged back into the original equation, these roots cause the equation to equal zero.<br><br>As the ± sign in the quadratic formula suggests, there can be two possible solutions, depending on the outcome of the formula's discriminant, <math>b^2-4ac</math>, the part of the quadratic formula under the radical symbol. The binomial, <math>b^2-4ac</math>, is called the discriminant because it discriminates between the possible solutions.
<ul>
<li>If <math>b^2-4ac>0</math> then the equation has two solutions.</li>
<li>If <math>b^2-4ac=0</math> then the equation has one solution.</li>
<li>If <math>b^2-4ac<0</math> then the equation has two complex numbers solutions. If you have not studied this topic yet, then you can probably assume there are no solutions for this equation.</li><br>
<img src="/images/quadratic-equations-graph1.png" alt="Solving quadratic equations via formula">
Розв'язки, іноді називають коренями або нулями, квадратного рівняння в його стандартній формі, <math>ax2+bx+c=0</math>, можна знайти, підставивши коефіцієнти рівняння, a, b та c, у квадратне рівняння:<br>
<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}</math><br>
Коли їх підставляють назад в початкове рівняння, ці корені змушують рівняння дорівнювати нулю.<br><br>
Як є ± знак у квадратному рівнянні, можуть бути два можливих рішення, в залежності від результату дискримінанта формули, <math>b^2-4ac</math>, частина квадратного рівняння під коренем. Біном <math>b^2-4ac</math> називається дискримінантом, оскільки він визначає можливі рішення. <ul> <li>Якщо <math>b^2-4ac>0</math> тоді рівняння має два рішення.</li> <li>Якщо <math>b^2-4ac=0</math> тоді рівняння має одне рішення.</li> <li>Якщо <math>b^2-4ac<0</math> то рівняння має два комплексні числові рішення. Якщо ви ще не вивчили цю тему, то можливо, можна припустити, що у цьому рівнянні немає рішень.</li><br> <img src="/images/quadratic-equations-graph1.png" alt="Розв'язання квадратних рівнянь за формулою">
OrderOfOperations
Order of operations
Порядок операцій
OrderOfOperationsContent
The order of operations is a set of rules that tells us what order we should use when solving mathematical expressions. Math problems often contain subtraction, addition, multiplication, exponents, division, and parentheses, and the order of operations tells us which we should address first.<br><br>

The order of operations is:<br>
<b>1.</b> Solve any operations in parentheses. If there are multiple operations inside parentheses, apply the order of operations inside the parentheses.<br>
<b>2.</b> Solve exponents (powers and roots).<br>
<b>3.</b> Multiply or divide. Moving from left to right, multiply and/or divide—whichever comes first.<br>
<b>4.</b> Add or subtract. Lastly, moving from left to right, add and/or subtract—whichever comes first.<br><br>

To help remember the correct order of operations, many use the acronyms:<br>
<b>PEMDAS</b> (US and France), <b>BODMAS</b> (UK), or <b>BEDMAS</b> (Canada)<br>
<b>P</b>arentheses/<b>B</b>rackets.<br>
<b>E</b>xponents/<b>O</b>rders.<br>
<b>M</b>ultiplication and <b>D</b>ivision (from left to right).<br>
<b>A</b>ddition and <b>S</b>ubtraction (from left to right).
Порядок операцій - це набір правил, які говорять нам, в якому порядку ми повинні виконувати математичні вирази. Математичні задачі часто містять віднімання, додавання, множення, степені, ділення та дужки, і порядок операцій показує нам, які з них ми повинні вирішувати першими.<br><br>
Порядок операцій:<br>
<b>1.</b> Вирішіть будь-які операції в дужках. Якщо в дужках кілька операцій, застосуйте порядок операцій всередині дужок.<br>
<b>2.</b> Розв'язати степені (степені та корені).<br>
<b>3.</b> Множте або діліть. Переміщуючись зліва направо, множте та / або діліть - що з них йде перше.<br>
<b>4.</b> Додавайте або віднімайте. Нарешті, переміщуючись зліва направо, додаєте та / або віднімаєте - що з них йде перше.<br><br>
Щоб краще запам'ятати вірний порядок операцій, багато хто використовує акроніми:<br>
<b>PEMDAS</b> (США та Франція), <b>BODMAS</b> (Велика Британія) або <b>BEDMAS</b> (Канада)<br>
<b>P</b>arentheses/<b>B</b>rackets.<br>
<b>E</b>xponents/<b>O</b>rders.<br>
<b>M</b>ultiplication та <b>D</b>ivision (зліва направо).<br>
<b>A</b>ddition та <b>S</b>ubtraction (зліва направо).
SolvingRadicalEquations
Solving radical equations
Розв'язання радикальних рівнянь
SolvingRadicalEquationsContent

Our solver currently handles radical equations in which one variable expression is inside a √(square root) radical.
<div style="white-space: normal;">
<p>Radical equations are equations that involve radicals, such as square roots, cube roots, etc. Solving radical equations involves isolating the radical expression and then squaring (or cubing, etc.) both sides to eliminate the radical.</p>
<h2>Basic Steps</h2>
<p>To solve radical equations, follow these basic steps:</p>
<ol>
<li><p>Isolate the radical expression on one side of the equation.</p></li>
<li><p>Square both sides of the equation to eliminate the radical. If there are multiple radicals, you may need to apply higher powers accordingly.</p></li>
<li><p>Solve the resulting equation for the variable.</p></li>
<li><p>Check your solutions by substituting them back into the original equation to ensure they are valid.</p></li>
</ol>
<h2>Example</h2>
<p>Let's solve the radical equation <math>\sqrt{x - 3} = 5</math>:</p>
<div style="margin-left: 20px;">
<ol>
<li><math>\sqrt{x - 3} = 5</math></li>
<li><math>(\sqrt{x - 3})^2 = 5^2</math></li>
<li><math>x - 3 = 25</math></li>
<li><math>x = 28</math></li>
</ol>
</div>
<p>Therefore, the solution to the equation is <math>x = 28</math>.</p>
<p>It's important to be cautious when solving radical equations, as extraneous solutions may arise when squaring both sides of the equation. Always check your solutions to ensure they are valid in the original equation.</p>
</div>

Наш розв'язувач наразі вирішує радикальні рівняння, в яких один вираз змінної знаходиться у радикалі (корені).
<div style="white-space: normal;">
<p>Радикальні рівняння - це рівняння, які включають радикали, такі як квадратні корені, кубічні корені тощо. Розв'язання радикальних рівнянь включає в себе ізоляцію радикального виразу, а потім возводення обох сторін у квадрат (або куб тощо.), щоб видалити радикал.</p>
<h2>Основні кроки</h2>
<p>Щоб розв'язати радикальні рівняння, слід виконати такі основні кроки:</p>
<ol>
<li><p>Ізолюйте радикальний вираз на одній стороні рівняння.</p></li>
<li><p>Возведіть обидві сторони рівняння в квадрат, щоб видалити радикал. Якщо радикалів декілька, можливо, вам знадобиться примінити вищі степені відповідно.</p></li>
<li><p>Розв'яжіть отримане рівняння для змінної.</p></li>
<li><p>Перевірте свої розв'язки, підставивши їх назад у вихідне рівняння, щоб переконатися, що вони є правильними.</p></li>
</ol>
<h2>Приклад</h2>
<p>Розв'яжемо радикальне рівняння <math>\sqrt{x - 3} = 5</math>:</p>
<div style="margin-left: 20px;">
<ol>
<li><math>\sqrt{x - 3} = 5</math></li>
<li><math>(\sqrt{x - 3})^2 = 5^2</math></li>
<li><math>x - 3 = 25</math></li>
<li><math>x = 28</math></li>
</ol>
</div>
<p>Отже, розв'язок рівняння <math>x = 28</math>.</p>
<p>Потрібно бути обережним при розв'язуванні радикальних рівнянь, оскільки при возводенні обох сторін рівняння в квадрат можуть з'явитися надлишкові розв'язки. Завжди перевіряйте свої розв'язки, щоб переконатися, що вони дійсні для вихідного рівняння.</p>
</div>
SquareRootSimplifier
Square root simplifier
Спрощувач квадратних коренів
SquareRootSimplifierContent

<div style="white-space: normal;">
<p>The square root simplification is a process of simplifying square roots to their simplest form. In mathematics, simplifying square roots involves finding the largest perfect square factor of the radicand and expressing it outside the square root sign.</p>
<h2>Basic Concepts</h2>
<p>To simplify square roots, it's important to understand the following concepts:</p>
<ul>
<li><strong>Perfect squares:</strong> Numbers that are the squares of integers are called perfect squares. For example, 1, 4, 9, 16, etc., are perfect squares.</li>
<li><strong>Prime factorization:</strong> Breaking down a number into its prime factors is crucial for simplifying square roots.</li>
<li><strong>Radicand:</strong> The expression inside the square root sign is called the radicand.</li>
</ul>
<h2>Simplification Techniques</h2>
<p>There are several techniques to simplify square roots:</p>
<ul>
<li><strong>Factorization:</strong> Factorizing the radicand into its prime factors and then taking out the pairs of identical factors.</li>
<li><strong>Rationalization:</strong> Rationalizing the denominator by multiplying both numerator and denominator by the conjugate of the denominator expression.</li>
</ul>
<h2>Examples</h2>
<p>Let's consider a few examples to illustrate the simplification of square roots:</p>
<h3>Example 1:</h3>
<p>Simplify <math>\sqrt{72}</math></p>
<p>We factorize 72 as <math>\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2}</math>. Since 36 is a perfect square, we can express it as 6 outside the square root sign. Hence, <math>\sqrt{72} = 6\sqrt{2}</math></p>
<h3>Example 2:</h3>
<p>Simplify <math>\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}</math></p>
<p>To rationalize the denominator, we multiply both the numerator and the denominator by <math>\sqrt{5}</math>. This gives us <math>\frac{\sqrt{75}}{5}</math>, which is the simplified form.</p>
<h2>Conclusion</h2>
<p>Simplifying square roots is a fundamental skill in mathematics, especially in algebra and calculus. Mastering the techniques of square root simplification enables efficient problem-solving and enhances mathematical understanding.</p>
</div>

<div style="white-space: normal;"><p>Спрощення квадратних коренів - це процес приведення квадратних коренів до їх найпростішої форми. У математиці спрощення квадратних коренів включає знаходження найбільшого чинника відмінного від квадрату та його вираження за межами знаку квадратного кореня.</p><h2>Основні концепції</h2><p>Для спрощення квадратних коренів важливо зрозуміти наступні поняття:</p><ul><li><strong>Перфектні квадрати:</strong> Числа, які є квадратами цілих чисел, називаються перфектними квадратами. Наприклад, 1, 4, 9, 16 і т.д., є перфектними квадратами.</li><li><strong>Проста факторизація:</strong> Розкладання числа на прості множники є важливим для спрощення квадратних коренів.</li><li><strong>Радикал:</strong> Вираз, що знаходиться всередині знаку квадратного кореня, називається радикалом.</li></ul><h2>Техніки спрощення</h2><p>Існує кілька технік для спрощення квадратних коренів:</p><ul><li><strong>Факторизація:</strong> Факторизація радикала на прості фактори, а потім винесення пар однакових факторів.</li><li><strong>Раціоналізація:</strong> Раціоналізація знаменника шляхом множення чисельника і знаменника на спряжене вираження знаменника.</li></ul><h2>Приклади</h2><p>Розглянемо кілька прикладів демонстрації спрощення квадратних коренів:</p><h3>Приклад 1:</h3><p>Спростимо <math>\sqrt{72}</math></p><p>Ми розкладаємо 72 як <math>\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2}</math>. Оскільки 36 - це перфектний квадрат, ми можемо виразити його як 6 за межами знаку квадратного кореня. Отже, <math>\sqrt{72} = 6\sqrt{2}</math></p><h3>Приклад 2:</h3><p>Спростимо <math>\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}</math></p><p>Щоб раціоналізувати знаменник, ми множимо чисельник і знаменник на <math>\sqrt{5}</math>. Це дає нам <math>\frac{\sqrt{75}}{5}</math>, яке є спрощеною формою.</p><h2>Висновок</h2><p>Спрощення квадратних коренів є основною навичкою в математиці, особливо в алгебрі та калькуляторі. Володіння техніками спрощення квадратних коренів сприяє ефективному вирішенню проблем і розширенню математичного розуміння.</p></div>
StatisticalMeasures
Statistical measures
Статистичні показники
StatisticalMeasuresTopicContent
<h4>Overview:</h4>
The science of statistics deals with the collection, analysis, interpretation, and presentation of data. Statistics often deals with populations, which can best be thought of as groupings of persons, things, or objects. To gain information about a population, we can select a smaller sample, often referred to as a subset, that is representative of the population of a whole. The more representative the sample is of the population, the more accurate the data.<br><br>
As an example, if you were calculating the overall grade point average at your school, you might select a few students from each grade or class instead of the entire student body. The data collected from the sample would be the students’ grade point averages, the population would be all the students at your school, and the sample would be the selected students.<br><br>
<h4>Sample variance formula:</h4>
<img src="/images/statistics-img1.png" alt="statistics statistical measures"><br>
<br>
<h4>Relevant concepts:</h4>
<ul>
<li><b>Mean</b>: The average of all the numbers in the set. To find the mean, add up all the numbers then divide the result by the number of terms in the set. The mean is sometimes also called the arithmetic mean.</li>
<li><b>Median</b>: The middle term of a sorted list of numbers. In a set with an even number of terms, the median is equal to the mean of the two center terms.</li>
<li><b>Range</b>: The difference between the smallest and largest values in the set. Subtract the smallest number in the set from the largest.</li>
<li><b>Variance</b>: How far each number in a set is from the mean and, therefore, from every other number in the set. The larger the variance, the farther the numbers in the set are from the mean and each other. The variance of a sample is often represented by the symbol <math>s^2</math> while the variance of a population is often represented by the symbol <math>σ^2</math>. In statistics, it is more common to find the variance for a sample. The variance is calculated by squaring the differences between each number in the data set and the mean to make them positive, adding them all together to find their sum, and finally dividing the sum by the number of values in the data set minus 1. We subtract 1 from the number of values to correct the bias we get from using a sample instead of a whole population. This is called Bessel’s correction.</li>
<li><b>Standard Deviation</b>: The dispersion, or spread, of a dataset relative to its mean. While variance gives us a rough idea of spread, the standard deviation gives us the exact distances between terms in the set and the set's mean. If the data points are further from the mean, there is a higher deviation within the data set; therefore, the more spread out the data, the higher the standard deviation. The standard deviation is equal to the square root of the variance.</li>
</ul>
<h4>Огляд:</h4>
Наука про статистику охоплює збір, аналіз, інтерпретацію та представлення даних. Статистика часто пов'язана з популяціями, які найкраще розглядати як групування осіб, речей або об'єктів. Щоб отримати інформацію про населення, ми можемо вибрати меншу вибірку, часто називаєму підмножиною, яка є репрезентативною для населення в цілому. Чим більш репрезентативна вибірка є для населення, тим точніші дані.<br><br>
Наприклад, розраховуючи середній бал за весь період навчання в вашій школі, ви могли б вибрати кілька учнів з кожного класу замість усіх учнів. Дані, зібрані з вибірки, були б балами учнів, населенням були б усі учні к вашої школи, а вибіркою були б обрані учні.<br><br>
<h4>Формула варіації вибірки:</h4>
<img src="/images/statistics-img1.png" alt="statistics statistical measures"><br>
<br>
<h4>Актуальні поняття:</h4>
<ul>
<li><b>Середнє значення</b>: середнє значення всіх чисел у наборі. Щоб знайти середнє значення, додайте всі числа, а потім поділіть результат на кількість чисел у наборі. Середнє значення часто також називають арифметичним середнім.</li>
<li><b>Медіана</b>: середнє число відсортованого списку чисел. У наборі з парної кількості чисел медіана дорівнює середньому значенню двох центральних чисел.</li>
<li><b>Розмах</b>: різниця між найменшим і найбільшим значеннями у наборі. Відніміть найменше число в наборі від найбільшого.</li>
<li><b>Варіація</b>: наскільки кожне число в наборі відходить від середнього значення і тому від кожного іншого числа в наборі. Чим більше варіація, тим далі числа в наборі від середнього значення та один від одного. Варіація вибірки часто позначається символом <math>s^2</math>, а варіація населення - символом <math>σ^2</math>. В статистиці більш поширене знаходження варіації для вибірки. Варіацію розраховують, піднімаючи в квадрат різницю між кожним числом в наборі даних та середнім значенням, щоб зробити їх позитивними, додаючи їх всіх разом, щоб знайти їх суму, і, нарешті, ділячи суму на кількість значень у наборі даних мінус 1. Ми віднімаємо 1 від числа значень, щоб скоригувати зміщення, яке ми отримуємо, використовуючи вибірку замість всього населення. Це називається корекцією Бесселя.</li>
<li><b>Стандартне відхилення</b>: дисперсія, або розсіювання, набору даних відносно його середнього значення. В то ж час, варіація дає нам грубе уявлення про розсіювання, стандартне відхилення дає нам точні відстані між числами в наборі та середнім значенням набору. Якщо дані відстоять далі від середнього значення, то в наборі даних є більше відхилення; отже, чим більше розсіювання даних, тим вище стандартне відхилення. Стандартне відхилення дорівнює квадратному кореню варіації.</li>
</ul>
SummarizingData
Summarizing data
Узагальнення даних
SummarizingDataContent
The following mathematical summaries of data set can convey a information with just a few numbers. These are called descriptive statistics. <br><br>useful types of descriptive statistics <br><br>summaries that indicate the ""spread"" of the raw measurements around the average, called measures of dispersion.
<div style="white-space: normal;">
<p>Summarizing data is the process of describing the main features of a dataset using statistical measures and visualization techniques. It involves condensing large amounts of data into more manageable summaries that provide insights into the underlying patterns and trends.</p>
<h2>Common Measures</h2>
<p>Some common measures used to summarize data include:</p>
<ul>
<li><strong>Measures of Central Tendency:</strong> Such as the mean, median, and mode, which represent the "average" or "typical" value of the data.</li>
<li><strong>Measures of Dispersion:</strong> Such as the range, variance, and standard deviation, which quantify the spread or variability of the data.</li>
<li><strong>Percentiles:</strong> Which divide the data into 100 equal parts, providing information about the distribution of values.</li>
<li><strong>Quartiles:</strong> Which divide the data into four equal parts, often used in conjunction with box plots to visualize the spread of data.</li>
</ul>
<h2>Visualization Techniques</h2>
<p>In addition to numerical summaries, data can also be summarized using visualization techniques such as:</p>
<ul>
<li><strong>Histograms:</strong> To visualize the distribution of numerical data.</li>
<li><strong>Box Plots:</strong> To display the distribution, central tendency, and variability of data.</li>
<li><strong>Scatter Plots:</strong> To explore relationships between two variables.</li>
<li><strong>Bar Charts and Pie Charts:</strong> To represent categorical data and compare different categories.</li>
</ul>
<h2>Applications</h2>
<p>Summarizing data is essential in various fields, including:</p>
<ul>
<li>Business and finance for analyzing sales data, market trends, and financial performance.</li>
<li>Healthcare for studying patient outcomes, disease prevalence, and treatment effectiveness.</li>
<li>Education for evaluating student performance, curriculum effectiveness, and learning outcomes.</li>
<li>Research and science for analyzing experimental results, survey data, and observational studies.</li>
</ul>
<p>Effective data summarization techniques can help stakeholders make informed decisions, identify areas for improvement, and understand complex datasets.</p>
</div>
Наступні математичні резюме набору даних можуть передавати інформацію за допомогою лише кількох чисел. Ці дані називаються описової статистикою. <br><br>корисні типи описової статистики <br><br>резюме, які вказують на "розподіл" первинних вимірювань навколо середнього, називається міра розкиду даних.
<div style="white-space: normal;">
<p>Узагальнення даних - це процес опису основних характеристик набору даних за допомогою статистичних вимірів та візуалізаційних технік. Він включає стиснення великих об'ємів даних у більш зручні резюме, які надають уявлення про основні моделі та тенденції.</p>
<h2>Поширені міри</h2>
<p>Деякі загальноприйняті міри, які використовуються для узагальнення даних, включають:</p>
<ul>
<li><strong>Міри центральної тенденції:</strong> Такі як середнє, медіана та мода, які репрезентують "середнє" або "типове" значення даних.</li>
<li><strong>Міри розкиду:</strong> Такі як діапазон, дисперсія та стандартне відхилення, які кількісно характеризують розкид або варіабельність даних.</li>
<li><strong>Процентили:</strong> Які розділяють дані на 100 рівних частин, надаючи інформацію про розподіл значень.</li>
<li><strong>Квартилі:</strong> Які розділяють дані на чотири рівних частини, часто використовуються разом з box plots для візуалізації розкиду даних.</li>
</ul>
<h2>Техніки візуалізації</h2>
<p>Окрім числових резюме, дані також можуть бути узагальнені за допомогою технік візуалізації, таких як:</p>
<ul>
<li><strong>Гістограми:</strong> Для візуалізації розподілу числових даних.</li>
<li><strong>Box plots:</strong> Для відображення розподілу, центральної тенденції, та варіабельності даних.</li>
<li><strong>Точкові діаграми:</strong> Для вивчення взаємозв'язків між двома змінними.</li>
<li><strong>Стовпчаті та кругові діаграми:</strong> Для представлення категоріальних даних та порівняння різних категорій.</li>
</ul>
<h2>При aplications</h2>
<p>Узагальнення даних необхідне в різних областях, включаючи:</p>
<ul>
<li>Бізнес та фінанси для аналізу даних про продажі, тенденцій ринку та фінансової ефективності.</li>
<li>Охорона здоров'я для вивчення результатів лікування пацієнтів, поширеності захворювань та ефективності лікування.</li>
<li>Освіта для оцінки успішності учнів, ефективності навчального плану та результатів навчання.</li>
<li>Дослідження та наука для аналізу результатів експериментів, даних опитувань та спостережних досліджень.</li>
</ul>
<p>Ефективні техніки узагальнення даних можуть допомогти зацікавленим сторонам приймати обґрунтовані рішення, виявляти області для поліпшення та розуміти складні набори даних.</p>
</div>
TrigonometryTopic
Trigonometry
Тригонометрія
TrigonometryContent

Tiger Algebra does not yet solve equations involving trigonometric functions, join our mailing list to be notified when it does.
<div style="white-space: normal;">
<p>Trigonometry is a branch of mathematics that deals with the study of relationships involving angles and lengths of triangles. It has wide applications in various fields such as physics, engineering, astronomy, and architecture.</p>
<h2>Basic Concepts</h2>
<p>Trigonometry primarily focuses on the trigonometric functions, which include sine (<math>\sin</math>), cosine (<math>\cos</math>), tangent (<math>\tan</math>), cosecant (<math>\csc</math>), secant (<math>\sec</math>), and cotangent (<math>\cot</math>). These functions relate the angles of a triangle to the lengths of its sides.</p>
<h2>Key Relationships</h2>
<p>Some of the key relationships in trigonometry include:</p>
<ul>
<li>The Pythagorean theorem, which relates the lengths of the sides of a right triangle:<br>
<math>a^2 + b^2 = c^2</math>,<br>
<li>The definitions of trigonometric functions in terms of the sides of a right triangle:<br>
<math>\sin(\theta) = \frac{opposite}{hypotenuse}</math>,<br>
<math>\cos(\theta) = \frac{adjacent}{hypotenuse}</math>,<br>
<math>\tan(\theta) = \frac{opposite}{adjacent}</math>,<br>
<li>The unit circle, which provides a way to define trigonometric functions for all real numbers using the coordinates of points on the circle.</li>
</ul>
<h2>Applications</h2>
<p>Trigonometry is used in various real-world applications, including:</p>
<ul>
<li>Navigation and surveying</li>
<li>Mechanical engineering and construction</li>
<li>Astronomy and celestial navigation</li>
<li>Signal processing and telecommunications</li>
<li>Computer graphics and animation</li>
</ul>
<p>Understanding trigonometry is essential for solving problems involving angles and triangles in many fields of science and engineering.</p>
</div>

Tiger Algebra ще не вирішує рівняння, які включають тригонометричні функції, приєднайтесь до нашого поштового списку, щоб дізнатися, коли воно це зробить.
<div style="white-space: normal;">
<p>Тригонометрія - це розділ математики, який стосується вивчення відносин між кутами та довжинами сторін трикутників. Вона має широкий спектр застосувань у різних галузях, таких як фізика, інженерія, астрономія та архітектура.</p>
<h2>Базові поняття</h2>
<p>Тригонометрія, головним чином, спрямована на тригонометричні функції, які включають синус (<math>\sin</math>), косинус (<math>\cos</math>), тангенс (<math>\tan</math>), косеканс (<math>\csc</math>), секанс (<math>\sec</math>) та котангенс (<math>\cot</math>). Ці функції пов'язують кути трикутника з довжинами його сторін.</p>
<h2>Ключові відносини</h2>
<p>Деякі ключові відносини в тригонометрії включають:</p>
<ul>
<li>Теорему Піфагора, яка відносить довжини сторін прямокутного трикутника:<br>
<math>a^2 + b^2 = c^2</math>,<br>
<li>Визначення тригонометричних функцій в термінах сторін прямокутного трикутника:<br>
<math>\sin(\theta) = \frac{протилежна}{гіпотенуза}</math>,<br>
<math>\cos(\theta) = \frac{прилегла}{гіпотенуза}</math>,<br>
<math>\tan(\theta) = \frac{протилежна}{прилегла}</math>,<br>
<li>Одиниця кола, яка дає можливість визначати тригонометричні функції для всіх реальних чисел, використовуючи координати точок на колі.</li>
</ul>
<h2>Застосування</h2>
<p>Тригонометрія використовується в різних реальних застосуваннях, включаючи:</p>
<ul>
<li>Навігація та землемірство</li>
<li>Машинобудування та будівництво</li>
<li>Астрономія та небесна навігація</li>
<li>Обробка сигналів та телекомунікації</li>
<li>Комп'ютерна графіка та анімація</li>
</ul>
<p>Розуміння тригонометрії є важливим для вирішення проблем, пов'язаних з кутами та трикутниками у багатьох галузях науки та техніки.</p>
</div>
Simplify
Simplify:
Спростити:
Key English Ukrainian Actions
SolverNotAvailableInTA
இந்த தீர்வு விரைவில் தமிழ் மொழியில் கிடைக்கும்.
Цей Solver незабаром буде доступний українською мовою.
SolverNotAvailableInTE
ఈ పరిష్కారం త్వరలో తెలుగు భాషలో అందుబాటులోకి రానుంది.
Цей Solver незабаром буде доступний українською мовою.
SolverNotAvailableInTR
Bu çözüm yakında Türkçe dilinde de mevcut olacak.
Цей Solver незабаром буде доступний українською мовою.
SolverNotAvailableInUK
Незабаром це рішення буде доступне українською мовою.
 
SolverNotAvailableInVI
Sẽ sớm có lời giải bằng tiếng Đức.
Sẽ sớm có bản dịch tiếng Ukraina.
SolverNotAvailableInZH_CN
该解决方案很快就会提供中文版。
Це рішення незабаром буде доступне українською мовою.
SolveRoute
solution
рішення
SolverTechniquesEquationTransitionTreeImgAlt
Tree view of the prime factors of {FactorInput}: {FactorsList:{ListElement}|, | and }
Дерево простих множників {FactorInput}: {FactorsList:{ListElement}|, | та }
SolveTabLinks
Links
Посилання
SolveTabLinksLg
Related links
Пов'язані посилання
SolveTabTopics
Topics
Теми
SolveTabTopicsLg
Terms and topics
Терміни та теми
SolvingLinearEquationsBySubstitution
Solving linear equations by substitution
Розв'язання лінійних рівнянь за допомогою заміни
SolvingLinearEquationsBySubstitutionContent
Substitution is one of the methods for solving linear equations. It is a good choice if there is a variable with a coefficient of 1. This method involves solving one of the equations for a variable and then substituting that expression into another equation to solve for another variable. This will produce a single equation with one variable, which can then be solved algebraically.
<div style="white-space: normal;">
<p>Solving linear equations by substitution is a method used to find the values of variables in an equation system. This method involves solving one of the equations for one variable and then substituting that expression into the other equations.</p>
<h2>Basic Steps</h2>
<p>The basic steps for solving linear equations by substitution are as follows:</p>
<ol>
<li><p>Choose one of the equations and solve it for one variable in terms of the other variables.</p></li>
<li><p>Substitute the expression found in step 1 into the other equations.</p></li>
<li><p>Solve the resulting equations for the remaining variables.</p></li>
<li><p>Check the solutions obtained by substituting them back into the original equations to verify their correctness.</p></li>
</ol>
<h2>Example</h2>
<p>Let's solve the following system of linear equations by substitution:</p>
<div style="margin-left: 20px;">
<math>2x + y = 8</math><br>
<math>x - 3y = -5</math>.<br>
</div>
<p>From the first equation, we can solve for <math>y</math>:</p>
<div style="margin-left: 20px;">
<math>y = 8 - 2x</math>.<br>
</div>
<p>Now, we substitute this expression for <math>y</math> into the second equation:</p>
<div style="margin-left: 20px;">
<math>x - 3(8 - 2x) = -5</math>.<br>
</div>
<p>Solving this equation gives us the value of <math>x</math>. Once we have the value of <math>x</math>, we can substitute it back into the expression we found for <math>y</math> to find the value of <math>y</math>.</p>
<p>Solving linear equations by substitution is a useful technique for finding solutions to systems of equations when the equations are linear.</p>
</div>
Заміна - один із способів розв'язування лінійних рівнянь. Це добрий вибір, якщо є змінна із коефіцієнтом 1. Цей метод включає розв'язання одного з рівнянь з точки зору змінної, а потім заміну цього виразу в інше рівняння, щоб розв'язати іншу змінну. Це дасть одне рівняння з однією змінною, яке потім можна розв'язати алгебраїчно.<div style="white-space: normal;"><p>Розв'язання лінійних рівнянь за допомогою заміни - це метод, який використовується для визначення значень змінних у системі рівнянь. Цей метод включає розв'язання одного з рівнянь для однієї змінної, а потім заміну цього виразу в інші рівняння.</p><h2>Основні кроки</h2><p>Основні кроки для розв'язання лінійних рівнянь за допомогою заміни наступні:</p><ol><li><p>Оберіть одне з рівнянь і розв'язайте його для однієї змінної в термінах інших змінних.</p></li><li><p>Підставте вираз, знайдений на кроці 1, в інші рівняння.</p></li><li><p>Розв'язайте отримані рівняння для інших змінних.</p></li><li><p>Перевірте отримані рішення, підставивши їх назад в початкові рівняння для перевірки їх правильності.</p></li></ol><h2>Приклад</h2><p>Давайте розв'яжемо наступну систему лінійних рівнянь за допомогою заміни:</p><div style="margin-left: 20px;"><math>2x + y = 8</math><br><math>x - 3y = -5</math>.<br></div><p>З першого рівняння, ми можемо знайти рішення для <math>y</math>:</p><div style="margin-left: 20px;"><math>y = 8 - 2x</math>.<br></div><p>Тепер ми підставляємо цей вираз для <math>y</math> у друге рівняння:</p><div style="margin-left: 20px;"><math>x - 3(8 - 2x) = -5</math>.<br></div><p>Розв'язуючи це рівняння, ми знаходимо значення <math>x</math>. Як тільки у нас є значення <math>x</math>, ми можемо підставити його назад в вираз, який ми знайшли для <math>y</math>, щоб знайти значення <math>y</math>.</p><p>Розв'язання лінійних рівнянь за допомогою заміни - це корисний метод для знаходження рішень систем рівнянь, коли рівняння є лінійними.</p></div>
SolvingQuadraticEquationsByCompletingTheSquare
Solving quadratic equations by completing the square
Розв'язання квадратних рівнянь шляхом доповнення до квадрата
SolvingQuadraticEquationsByCompletingTheSquareContent
Like factoring (solver coming soon) and <a target="_blank" href="https://www.tiger-algebra.com/en/terms-and-topics/solving-quadratic-equations-using-the-formula/">the quadratic formula</a>, completing the square is a method used to solve quadratic equations.<br>
The standard form of a quadratic equation is <math>ax^2+bx+c=0</math> , in which <math>a</math>, <math>b</math> and <math>c</math> represent the coefficients and <math>x</math> represents an unknown variable.<br>
To complete the square, we first turn the quadratic equation into a perfect square trinomial (described below) and then solve to find its square root.<br><br>

So, what exactly is a perfect square trinomial? If a perfect square is the product of a number or expression that is multiplied by itself, such as <math>9</math>, which is the product of <math>3·3</math>, and a trinomial is an algebraic expression with three terms, such as <math>2x^2+4x–7</math>, then it is safe to assume a perfect square trinomial would be an algebraic expression with three terms that is also the product of a binomial multiplied by itself, such as <math>(x+4)·(x+4)=x^2+8x+16</math>.<br><br>
It is important to note that if the second term of the equation, <math>bx</math>, is missing, then we cannot complete the square and need to use another method, such as <a target="_blank" href="https://www.tiger-algebra.com/en/terms-and-topics/solving-quadratic-equations-using-the-formula/">the quadratic formula</a>, to solve the equation.<br><br>

Enter your quadratic equation into Tiger’s calculator and the step-by-step solution will help you understand how to solve quadratic equations by completing the square.
Як і факторизація (скоро з'явиться розв'язок) та <a target="_blank" href="https://www.tiger-algebra.com/uk/terms-and-topics/solving-quadratic-equations-using-the-formula/">квадратне рівняння</a>, доповнення до квадрата - це метод, який використовується для розв'язання квадратних рівнянь. <br>
Стандартна форма квадратного рівняння приємає форму <math>ax^2+bx+c=0</math>, де <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> представляють коефіцієнти, а <math>x</math> представляє невідому. <br>
Щоб завершити квадрат, ми спершу перетворюємо квадратне рівняння в ідеальний трином квадрату (описаний нижче), а потім знаходимо його квадратний корінь. <br> <br>
Так що, що таке ідеальний квадратний трином? Якщо ідеальний квадрат - це добуток числа або виразу, що множиться сам на себе, наприклад, <math>9</math>, який є добутком <math>3 · 3</math>, і трином - це алгебраїчний вираз з трьома частинами, таким як <math>2x^2+4x–7</math>, то можливо припустити, що ідеальний квадратний трином був би алгебраїчний вираз з трьома частинами, який також є добутком бінома, помноженого сам на себе, наприклад, <math>(x+4) · (x+4)=x^2+8x+16</math>. <br> <br>
Важливо зауважити, якщо другий член рівняння, <math>bx</math>, відсутній, то ми не можемо завершити квадрат і потрібно використовувати інший метод, такий як <a target="_blank" href="https://www.tiger-algebra.com/uk/terms-and-topics/solving-quadratic-equations-using-the-formula/">квадратне рівняння</a>, для розв'язання рівняння. <br> <br>
Введіть своє квадратне рівняння в калькулятор Tiger, і поетапне рішення допоможе вам зрозуміти, як розв'язати квадратне рівняння, доповнюючи квадрат.
SolvingQuadraticEquationsUsingTheFormula
Solving quadratic equations using the quadratic formula
Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою квадратного рівняння
SolvingQuadraticEquationsUsingTheFormulaContent
The solution(s), sometimes called roots or zeros, to a quadratic equation in its standard form, <math>ax2+bx+c=0</math>, can be found by plugging the equation's coefficients, a, b, and c, into the quadratic formula:<br>
<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}</math><br>
When plugged back into the original equation, these roots cause the equation to equal zero.<br><br>As the ± sign in the quadratic formula suggests, there can be two possible solutions, depending on the outcome of the formula's discriminant, <math>b^2-4ac</math>, the part of the quadratic formula under the radical symbol. The binomial, <math>b^2-4ac</math>, is called the discriminant because it discriminates between the possible solutions.
<ul>
<li>If <math>b^2-4ac>0</math> then the equation has two solutions.</li>
<li>If <math>b^2-4ac=0</math> then the equation has one solution.</li>
<li>If <math>b^2-4ac<0</math> then the equation has two complex numbers solutions. If you have not studied this topic yet, then you can probably assume there are no solutions for this equation.</li><br>
<img src="/images/quadratic-equations-graph1.png" alt="Solving quadratic equations via formula">
Розв'язки, іноді називають коренями або нулями, квадратного рівняння в його стандартній формі, <math>ax2+bx+c=0</math>, можна знайти, підставивши коефіцієнти рівняння, a, b та c, у квадратне рівняння:<br>
<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}</math><br>
Коли їх підставляють назад в початкове рівняння, ці корені змушують рівняння дорівнювати нулю.<br><br>
Як є ± знак у квадратному рівнянні, можуть бути два можливих рішення, в залежності від результату дискримінанта формули, <math>b^2-4ac</math>, частина квадратного рівняння під коренем. Біном <math>b^2-4ac</math> називається дискримінантом, оскільки він визначає можливі рішення. <ul> <li>Якщо <math>b^2-4ac>0</math> тоді рівняння має два рішення.</li> <li>Якщо <math>b^2-4ac=0</math> тоді рівняння має одне рішення.</li> <li>Якщо <math>b^2-4ac<0</math> то рівняння має два комплексні числові рішення. Якщо ви ще не вивчили цю тему, то можливо, можна припустити, що у цьому рівнянні немає рішень.</li><br> <img src="/images/quadratic-equations-graph1.png" alt="Розв'язання квадратних рівнянь за формулою">
SolvingRadicalEquations
Solving radical equations
Розв'язання радикальних рівнянь
SolvingRadicalEquationsContent

Our solver currently handles radical equations in which one variable expression is inside a √(square root) radical.
<div style="white-space: normal;">
<p>Radical equations are equations that involve radicals, such as square roots, cube roots, etc. Solving radical equations involves isolating the radical expression and then squaring (or cubing, etc.) both sides to eliminate the radical.</p>
<h2>Basic Steps</h2>
<p>To solve radical equations, follow these basic steps:</p>
<ol>
<li><p>Isolate the radical expression on one side of the equation.</p></li>
<li><p>Square both sides of the equation to eliminate the radical. If there are multiple radicals, you may need to apply higher powers accordingly.</p></li>
<li><p>Solve the resulting equation for the variable.</p></li>
<li><p>Check your solutions by substituting them back into the original equation to ensure they are valid.</p></li>
</ol>
<h2>Example</h2>
<p>Let's solve the radical equation <math>\sqrt{x - 3} = 5</math>:</p>
<div style="margin-left: 20px;">
<ol>
<li><math>\sqrt{x - 3} = 5</math></li>
<li><math>(\sqrt{x - 3})^2 = 5^2</math></li>
<li><math>x - 3 = 25</math></li>
<li><math>x = 28</math></li>
</ol>
</div>
<p>Therefore, the solution to the equation is <math>x = 28</math>.</p>
<p>It's important to be cautious when solving radical equations, as extraneous solutions may arise when squaring both sides of the equation. Always check your solutions to ensure they are valid in the original equation.</p>
</div>

Наш розв'язувач наразі вирішує радикальні рівняння, в яких один вираз змінної знаходиться у радикалі (корені).
<div style="white-space: normal;">
<p>Радикальні рівняння - це рівняння, які включають радикали, такі як квадратні корені, кубічні корені тощо. Розв'язання радикальних рівнянь включає в себе ізоляцію радикального виразу, а потім возводення обох сторін у квадрат (або куб тощо.), щоб видалити радикал.</p>
<h2>Основні кроки</h2>
<p>Щоб розв'язати радикальні рівняння, слід виконати такі основні кроки:</p>
<ol>
<li><p>Ізолюйте радикальний вираз на одній стороні рівняння.</p></li>
<li><p>Возведіть обидві сторони рівняння в квадрат, щоб видалити радикал. Якщо радикалів декілька, можливо, вам знадобиться примінити вищі степені відповідно.</p></li>
<li><p>Розв'яжіть отримане рівняння для змінної.</p></li>
<li><p>Перевірте свої розв'язки, підставивши їх назад у вихідне рівняння, щоб переконатися, що вони є правильними.</p></li>
</ol>
<h2>Приклад</h2>
<p>Розв'яжемо радикальне рівняння <math>\sqrt{x - 3} = 5</math>:</p>
<div style="margin-left: 20px;">
<ol>
<li><math>\sqrt{x - 3} = 5</math></li>
<li><math>(\sqrt{x - 3})^2 = 5^2</math></li>
<li><math>x - 3 = 25</math></li>
<li><math>x = 28</math></li>
</ol>
</div>
<p>Отже, розв'язок рівняння <math>x = 28</math>.</p>
<p>Потрібно бути обережним при розв'язуванні радикальних рівнянь, оскільки при возводенні обох сторін рівняння в квадрат можуть з'явитися надлишкові розв'язки. Завжди перевіряйте свої розв'язки, щоб переконатися, що вони дійсні для вихідного рівняння.</p>
</div>
SomethingElse
Not what you're looking for? Let us know
Не те, що ви шукали? Повідомте нам
SquareRootOfAFraction
Square root of fraction or number by prime factorization
Квадратний корінь дробу або числа за допомогою розкладання на прості множники
SquareRootOfAFractionContent
A square root is a factor that, when multiplied by itself, produces another number. This can be expressed as <math>x^2=y</math> or <math>x=sqrt(y)</math>. For example, the square roots of 4 are 2 and -2, because <math>2*2</math> and <math>-2*-2</math> both equal 4.<br>To find the square roots of fractions, such as <math>sqrt(4/49)</math>, simply find the square roots of the numerator and denominator. The example <math>sqrt(4/49)</math> could be rewritten as <math>sqrt(4)/sqrt(49)</math> and simplified as <math>2/7</math>. Notice that multiplying <math>2/7</math> by itself gives us the original fraction, <math>4/49</math>.<br>
But what happens when the original numbers do not divide neatly,<br>for example, as in <math>sqrt(256/99)</math>?<br>
One way to approach a problem like this is to use prime factorization, which involves finding prime numbers that can be multiplied together to make the original number.
<br>
<br>
<a href="/en/solution/square-root-of-a-fraction/sqrt(256/99)/" target="_blank">
Learn how to use prime factorization to find the square root of <math>sqrt(256/99)</math></a>
Квадратний корінь - це фактор, який при множенні на себе дає інше число. Це можна виразити як <math>x^2=y</math> або <math>x=sqrt(y)</math>. Наприклад, квадратні корені 4 - це 2 та -2, оскільки <math>2*2</math> та <math>-2*-2</math> обидва дорівнюють 4.<br>Щоб знайти квадратні корені дробів, наприклад <math>sqrt(4/49)</math>, просто знайдіть квадратні корені числителя і знаменника. Приклад <math>sqrt(4/49)</math> можна переписати як <math>sqrt(4)/sqrt(49)</math> і спростити як <math>2/7</math>. Зауважте, що множення <math>2/7</math> на себе дає нам оригінальний дріб, <math>4/49</math>.<br>
Але що відбувається, коли оригінальні числа не діляться рівно,<br>наприклад, як у <math>sqrt(256/99)</math>?<br>
Один зі способів підходу до такої проблеми - це використання розкладу на прості множники, який передбачає пошук простих чисел, які можна помножити, щоб отримати оригінальне число.
<br>
<br>
<a href="/en/solution/square-root-of-a-fraction/sqrt(256/99)/" target="_blank">
Дізнайтеся, як використовувати розклад на прості множники для визначення квадратного кореня <math>sqrt(256/99)</math></a>
SquareRootOfAFraction.plugin
solving the square root of a fraction or number by prime factorization
Вирішення за допомогою квадратного коріння дробу або числа за допомогою розкладання на прості множники
SquareRootOfAFractionResultTypeDecimal
Decimal form:
Десяткова форма:
SquareRootOfAFractionStep1TextUnit1
Divide both the numerator and denominator by their greatest common factor ({Step1GCF}):
Поділіть чисельник та знаменник на їх найбільший спільний ділник ({Step1GCF}):
SquareRootOfAFractionStep1TextUnit1a
<math>{Step1Fraction} → {Step1ReducedFraction}</math>
<math>{Step1Fraction} → {Step1ReducedFraction}</math>
SquareRootOfAFractionStep1TextUnit1b
Since the GCF is 1, the fraction cannot be reduced <math>{Step1Fraction}</math>
Оскільки НСД є 1, дріб не може бути спрощений <math>{Step1Fraction}</math>
SquareRootOfAFractionStep1TextUnit1ZeroDenominator
Anything divided by zero is undefined <br>
<math>{Step1Fraction} →</math> UNDEFINED
Будь-що, поділене на нуль, не визначене <br>
<math>{Step1Fraction} →</math> НЕВИЗНАЧЕНО
SquareRootOfAFractionStep1TextUnit2
<a target="_blank" href={Step1GCFLink}> Learn how to find the greatest common factor.</a>
<a target="_blank" href={Step1GCFLink}> Дізнайтеся, як знайти найбільший спільний дільник.</a>

Loading…

User avatar None

String added in the repository

  1. Tiger Algebra
  2. core
  3. Ukrainian
Like factoring (solver coming soon) and <a target="_blank" href="https://www.tiger-algebra.com/en/terms-and-topics/solving-quadratic-equations-using-the-formula/">the quadratic formula</a>, completing the square is a method used to solve quadratic equations.<br>
The standard form of a quadratic equation is <math>ax^2+bx+c=0</math> , in which <math>a</math>, <math>b</math> and <math>c</math> represent the coefficients and <math>x</math> represents an unknown variable.<br>
To complete the square, we first turn the quadratic equation into a perfect square trinomial (described below) and then solve to find its square root.<br><br>

So, what exactly is a perfect square trinomial? If a perfect square is the product of a number or expression that is multiplied by itself, such as <math>9</math>, which is the product of <math>3·3</math>, and a trinomial is an algebraic expression with three terms, such as <math>2x^2+4x–7</math>, then it is safe to assume a perfect square trinomial would be an algebraic expression with three terms that is also the product of a binomial multiplied by itself, such as <math>(x+4)·(x+4)=x^2+8x+16</math>.<br><br>
It is important to note that if the second term of the equation, <math>bx</math>, is missing, then we cannot complete the square and need to use another method, such as <a target="_blank" href="https://www.tiger-algebra.com/en/terms-and-topics/solving-quadratic-equations-using-the-formula/">the quadratic formula</a>, to solve the equation.<br><br>

Enter your quadratic equation into Tiger’s calculator and the step-by-step solution will help you understand how to solve quadratic equations by completing the square.
Як і факторизація (скоро з'явиться розв'язок) та <a target="_blank" href="https://www.tiger-algebra.com/uk/terms-and-topics/solving-quadratic-equations-using-the-formula/">квадратне рівняння</a>, доповнення до квадрата - це метод, який використовується для розв'язання квадратних рівнянь. <br>
Стандартна форма квадратного рівняння приємає форму <math>ax^2+bx+c=0</math>, де <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> представляють коефіцієнти, а <math>x</math> представляє невідому. <br>
Щоб завершити квадрат, ми спершу перетворюємо квадратне рівняння в ідеальний трином квадрату (описаний нижче), а потім знаходимо його квадратний корінь. <br> <br>
Так що, що таке ідеальний квадратний трином? Якщо ідеальний квадрат - це добуток числа або виразу, що множиться сам на себе, наприклад, <math>9</math>, який є добутком <math>3 · 3</math>, і трином - це алгебраїчний вираз з трьома частинами, таким як <math>2x^2+4x–7</math>, то можливо припустити, що ідеальний квадратний трином був би алгебраїчний вираз з трьома частинами, який також є добутком бінома, помноженого сам на себе, наприклад, <math>(x+4) · (x+4)=x^2+8x+16</math>. <br> <br>
Важливо зауважити, якщо другий член рівняння, <math>bx</math>, відсутній, то ми не можемо завершити квадрат і потрібно використовувати інший метод, такий як <a target="_blank" href="https://www.tiger-algebra.com/uk/terms-and-topics/solving-quadratic-equations-using-the-formula/">квадратне рівняння</a>, для розв'язання рівняння. <br> <br>
Введіть своє квадратне рівняння в калькулятор Tiger, і поетапне рішення допоможе вам зрозуміти, як розв'язати квадратне рівняння, доповнюючи квадрат.
8 hours ago
Browse all string changes

Things to check

Consecutive duplicated words

Text contains the same word twice in a row: <br>

Reset

Mismatching line breaks

Number of new lines in translation does not match source

Reset

Glossary

English Ukrainian
No related strings found in the glossary.

String information

Key
SolvingQuadraticEquationsByCompletingTheSquareContent
String age
8 hours ago
Last updated
8 hours ago
Source string age
10 hours ago
Translation file
core/TigerAlgebra.Localization/Resources/TigerSharedResource.uk.resx, string 529