Tiger Algebra/core — German @ Weblate: The least common multiple (LCM), sometimes called the lowest common …

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The least common multiple (LCM), sometimes called the lowest common multiple or least common divisor (LCD), is the smallest number that two or more selected numbers can divide evenly into without a remainder. For example, <math>21</math> is the LCM of <math>3</math> and <math>7</math> because it is the lowest number that they both divide evenly into. 

There are several ways to find the LCM: listing the multiples of each number, prime factorization, the cake or ladder method, the division method, or using the greatest common factor. 

The Tiger Algebra LCM calculator not only finds the LCM but also shows the individual steps involved in doing so, helping you better understand and remember the process!

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FactoringPolynomialsHavingMoreThan3Terms	Factoring polynomials with four or more terms	Faktorisierung von Polynomen mit vier oder mehr Termen
FactoringPolynomialsHavingMoreThan3TermsContent	A simple way to approach factoring a polynomial with four or more terms is by grouping it into sets of two. This method involves examining these sets together to see whether a particular technique could be applied to both. One technique to start with is checking whether it is possible to find the greatest common factor (GCF) between a set of two terms. If the GCF cannot be found, the polynomials could be grouped in another way and examined for another technique. There is always the possibility that the polynomial is prime and cannot be factored. <div style="white-space: normal;"> <p>Factoring polynomials with four or more terms can be more complex than factoring binomials or trinomials. However, there are strategies that can help simplify the process.</p> <h2>Step-by-Step Process</h2> <p>To factor polynomials with four or more terms, follow these steps:</p> <ol> <li>Group the terms in pairs.</li> <li>Factor each pair using common factoring techniques such as GCF, difference of squares, or trinomial factoring.</li> <li>Look for a common factor among the resulting expressions.</li> <li>Factor out the common factor.</li> <li>Express the polynomial as the product of the common factor and the remaining expressions.</li> <li>Check your work by multiplying the factors to ensure you get the original polynomial.</li> </ol> <h2>Example</h2> <p>Let's factor the polynomial <math>x^3 + 2x^2 - 3x - 6</math>:</p> <p>Step 1: Group the terms - <math>(x^3 + 2x^2) - (3x + 6)</math>.</p> <p>Step 2: Factor each pair - <math>x^2(x + 2) - 3(x + 2)</math>.</p> <p>Step 3: Look for a common factor - Both expressions share <math>(x + 2)</math> as a common factor.</p> <p>Step 4: Factor out the common factor - <math>(x + 2)(x^2 - 3)</math>.</p> <p>Step 5: The polynomial is now factored as <math>(x + 2)(x^2 - 3)</math>.</p> <p>Factoring polynomials with four or more terms requires practice and patience, but mastering this skill can greatly simplify algebraic expressions and equations.</p> </div>	Ein einfacher Ansatz zur Faktorisierung eines Polynoms mit vier oder mehr Termen ist, es in Mengen mit je zwei Termen zu unterteilen. Bei dieser Methode werden diese beiden Mengen gemeinsam untersucht, um festzustellen, ob eine bestimmte Technik auf beide angewendet werden könnte. Eine Technik für den Anfang besteht darin, zu prüfen, ob der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier Terme ermittelt werden kann. Falls der ggT nicht ermittelt werden kann, könnten die Polynome auf andere Weise gruppiert werden und im Hinblick auf eine andere Technik untersucht werden. Es besteht immer die Möglichkeit, dass das Polynom eine Primzahl ist und nicht faktorisiert werden kann.
FactorTrinomials	Factor trinomials	Faktorisierung von Trinomen
FactorTrinomialsContent	<div style="white-space: normal;"> <p>Factoring trinomials is an essential skill in algebra, particularly in polynomial factorization. Trinomials are algebraic expressions with three terms, and factoring involves breaking them down into the product of two or more simpler expressions.</p> <h2>Basic Concepts</h2> <p>To factor trinomials, it's crucial to understand the following concepts:</p> <ul> <li><strong>Trinomials:</strong> Algebraic expressions with three terms, typically in the form <math>ax^2 + bx + c</math>.</li> <li><strong>Factoring:</strong> The process of expressing an algebraic expression as the product of its factors.</li> <li><strong>Factorization techniques:</strong> Methods used to factor trinomials, such as trial and error, grouping, and the quadratic formula.</li> </ul> <h2>Factoring Techniques</h2> <p>There are various techniques to factor trinomials:</p> <ul> <li><strong>Trial and error:</strong> Trying different combinations of factors until finding the correct one.</li> <li><strong>Grouping:</strong> Grouping the terms of the trinomial and factoring common factors.</li> <li><strong>Quadratic formula:</strong> Applying the quadratic formula to find the roots of the trinomial.</li> </ul> <h2>Examples</h2> <p>Let's consider a few examples to illustrate the factoring of trinomials:</p> <h3>Example 1:</h3> <p>Factor <math>x^2 + 5x + 6</math></p> <p>We look for two numbers that multiply to give 6 and add to give 5. These numbers are 2 and 3. So, <math>x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)</math></p> <h3>Example 2:</h3> <p>Factor <math>2x^2 + 7x + 3</math></p> <p>Using the quadratic formula, we find the roots to be <math>x = -\frac{1}{2}</math> and <math>x = -3</math>. So, <math>2x^2 + 7x + 3 = 2(x + \frac{1}{2})(x + 3)</math></p> <h2>Conclusion</h2> <p>Factoring trinomials is an important skill in algebra that finds applications in various mathematical problems and real-world scenarios. Mastering the techniques of trinomial factoring enhances problem-solving abilities and deepens understanding of algebraic concepts.</p> </div>	Tiger Algebra zeigt dir Schritt für Schritt, wie du Trinome mit unterschiedlichen Methoden faktorisieren kannst.
FindAreaofTrianglegivenbyits3sides	Find area of triangle given by its 3 sides	Bestimmung der Fläche eines Dreiecks anhand 3 vorgegebener Seiten
FindAreaofTrianglegivenbyits3sidesContent	To find the Area of Triangle given its 3 sides, enter the sizes of the three sides seperated by commas and wrapped in parentheses. Tiger Algebra will show you the step by step solution. Sample input: <math>(3,4,5)</math> <div style="white-space: normal;"> <p>To find the area of a triangle given its three sides (also known as the side-length formula), you can use Heron's formula. Heron's formula allows you to calculate the area of a triangle using its side lengths alone.</p> <h2>Heron's Formula</h2> <p>Heron's formula states that the area <math>A</math> of a triangle with side lengths <math>a</math>, <math>b</math>, and <math>c</math> is given by:</p> <div style="margin-left: 20px;"> <math>A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}</math>,<br> <i>where</i> <math>s</math> is the semi-perimeter of the triangle, calculated as:<br> <math>s = \frac{a + b + c}{2}</math>. </div> <h2>Example</h2> <p>Let's find the area of a triangle with side lengths 5, 6, and 7:</p> <div style="margin-left: 20px;"> <math>a = 5, b = 6, c = 7</math><br> <math>s = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9</math><br> <math>A = \sqrt{9(9 - 5)(9 - 6)(9 - 7)}</math><br> <math>A = \sqrt{9(4)(3)(2)} = \sqrt{216}</math><br> <math>A \approx 14.7</math>. </div> <p>Therefore, the area of the triangle is approximately 14.7 square units.</p> <p>Heron's formula provides an efficient method for finding the area of a triangle when you know the lengths of its sides.</p> </div>	Um anhand der 3 bekannten Seiten eines Dreiecks seine Fläche zu ermitteln, gib die Längen der drei Seiten durch Kommas getrennt und in Klammern gesetzt ein. Tiger Algebra zeigt dir dann die Lösung Schritt für Schritt. Beispieleingabe: <math>(3,4,5)</math>
FindPrimeFactors	Find prime factors	Primfaktoren finden
FindPrimeFactorsContent	<div style="white-space: normal;"> <p>Prime factorization is the process of finding the prime numbers that multiply together to give a specific number. This is often used in mathematics to simplify fractions or solve problems involving factors.</p> <h2>Step 1: Begin with the Number</h2> <p>To find the prime factors of a number, start with the number itself. Let's take an example: 72.</p> <h2>Step 2: Divide by Prime Numbers</h2> <p>Start dividing the number by the smallest prime number, 2, and continue dividing by prime numbers until you cannot divide evenly anymore.</p> <p>For example, for 72:</p> <ul> <li>72 ÷ 2 = 36</li> <li>36 ÷ 2 = 18</li> <li>18 ÷ 2 = 9</li> <li>9 ÷ 3 = 3</li> <li>3 is already a prime number.</li> </ul> <h2>Step 3: Record the Prime Factors</h2> <p>The prime factors of 72 are 2, 2, 2, 3, and 3.</p> <h2>Step 4: Check Your Work</h2> <p>Multiply all the prime factors together to ensure you get the original number: 2 * 2 * 2 * 3 * 3 = 72.</p> <p>Finding prime factors is essential for many mathematical operations, including simplifying fractions, finding greatest common divisors, and more.</p> </div>	Eine Primzahl kann nur durch eins und sich selbst geteilt werden. Zusammengesetzte ganze Zahlen (ganze Zahlen, die keine Primzahlen sind) können als Produkt ihrer Primfaktoren geschrieben werden. Gib Faktoren (beliebige Zahl) oder Primzahlen (beliebige Zahl) in den Algebra-Rechner ein, dann findet Tiger die zugehörigen Primfaktoren für dich.
GCFCalculator	Greatest common factor	ggT-Rechner
GCFCalculatorContent	The greatest common factor (GCF), sometimes also referred to as the highest common factor (HCF) or the greatest common divisor (GCD), is the largest positive integer that a set of integers can all be divided by. For example, the largest number that 12, 24, and 32 can all be divided by is 4, so their greatest common factor is 4. Similarly, the largest number that 3, 5, and 10 can all be divided by is 1, so their greatest common factor is 1. <br><br> There are two ways to find the greatest common factor: listing the factors of each number and prime factorization. <br><br> <b>Method 1: Listing the factors of each number</b><br> List all of the factors of each number and identify the largest (greatest) factor that all the numbers have in common. <br><br> 12 - 1, 2, 3, <b>4</b>, 6, 12<br> 24 - 1, 2, 3, <b>4</b>, 6, 8, 12, 24<br> 32 - 1, 2, 3, <b>4</b>, 8, 16, 32<br><br> 4 is the greatest factor the numbers have in common, so it is the greatest common factor. <br><br> <b>Method 2: Prime factorization</b><br> Use a factor tree to identify the prime factors (factors that are prime numbers) of each number. Identify the prime factors that all the numbers have in common and multiply them together to get the greatest common factor. <br> <img src="/images/gcfTree1.png" alt="Prime factorization tree"><br> The prime factors that all of the numbers have in common are 2 and 2. Multiply these together to get the greatest common factor, 4.	Der größte gemeinsame Teiler (ggT), manchmal auch als höchster gemeinsamer Teiler (HGT) oder größter gemeinsamer Divisor (GCD) bezeichnet, ist die größte positive ganze Zahl, durch die eine Gruppe von ganzen Zahlen geteilt werden kann. Zum Beispiel ist die größte Zahl, durch die 12, 24 und 32 alle geteilt werden können, 4, daher ist ihr größter gemeinsamer Teiler 4. Ähnlich ist die größte Zahl, durch die 3, 5 und 10 alle geteilt werden können, 1, daher ist ihr größter gemeinsamer Teiler 1.<br><br> Es gibt zwei Methoden, um den größten gemeinsamen Teiler zu finden: Auflistung der Teiler jeder Zahl und Primfaktorzerlegung.<br><br> <b>Methode 1: Auflistung der Teiler jeder Zahl</b><br> Listen Sie alle Teiler jeder Zahl auf und ermitteln Sie den größten (höchsten) Teiler, den alle Zahlen gemeinsam haben.<br><br> 12 - 1, 2, 3, <b>4</b>, 6, 12<br> 24 - 1, 2, 3, <b>4</b>, 6, 8, 12, 24<br> 32 - 1, 2, <b>4</b>, 8, 16, 32<br><br> 4 ist der größte Teiler, den die Zahlen gemeinsam haben, daher ist er der größte gemeinsame Teiler.<br><br> <b>Methode 2: Primfaktorzerlegung</b><br> Verwenden Sie einen Faktorbaum, um die Primfaktoren (Teiler, die Primzahlen sind) jeder Zahl zu ermitteln. Ermitteln Sie die Primfaktoren, die alle Zahlen gemeinsam haben, und multiplizieren Sie sie, um den größten gemeinsamen Teiler zu erhalten.<br> <img src="/images/gcfTree1.png" alt="Primfaktorzerlegungsbaum"><br> Die Primfaktoren, die alle Zahlen gemeinsam haben, sind 2 und 2. Multiplizieren Sie diese, um den größten gemeinsamen Teiler, 4, zu erhalten.
GeometricSeries	Geometric series	Geometrische Reihen
GeometricSeriesContent	In mathematics, a geometric series is a series with a constant ratio between successive terms. For example, the series <math>1,2,4,8</math> is geometric, because each successive term can be obtained by multiplying the previous term by <math>2</math>. <div style="white-space: normal;"> <p>A geometric series is the sum of the terms of a geometric sequence. It is a sequence of numbers in which each term after the first is found by multiplying the previous term by a fixed, non-zero number called the common ratio.</p> <h2>General Form</h2> <p>The general form of a geometric series is:</p> <div style="margin-left: 20px;"> <math>a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} ar^n</math>, </div> <p>where <math>a</math> is the first term and <math>r</math> is the common ratio.</p> <h2>Sum Formula</h2> <p>The sum of a finite geometric series with <math>n</math> terms is given by the formula:</p> <div style="margin-left: 20px;"> <math>S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}</math>, </div> <p>where <math>S_n</math> is the sum of the first <math>n</math> terms.</p> <h2>Properties</h2> <ul> <li>If the absolute value of the common ratio <math>r</math> is less than 1, the series converges to a finite value.</li> <li>If the absolute value of <math>r</math> is greater than or equal to 1, the series diverges.</li> <li>The sum of an infinite geometric series can be found using the formula for the sum of an infinite geometric series:</li> <div style="margin-left: 20px;"> <math>S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}</math>. </div> </ul> <h2>Applications</h2> <p>Geometric series have various applications in mathematics, physics, engineering, and finance. They are used to model growth and decay processes, calculate interest, analyze circuits, and more.</p> <p>Understanding geometric series and their properties is essential for solving problems in many fields.</p> </div>	In der Mathematik ist eine geometrische Reihe eine Folge mit einem konstanten Quotienten aufeinanderfolgender Glieder. Zum Beispiel ist die Reihe <math>1,2,4,8</math> geometrisch, weil jedes Glied durch Multiplizierung des jeweils vorhergehenden Glieds mit <math>2</math> erhalten werden kann.
IdentifyingPerfectCubes	Identifying perfect cubes	Identifikation perfekter Kubikzahlen
IdentifyingPerfectCubesContent	<div style="white-space: normal;"> <p>In general, a perfect cube is represented as <math>n^3</math>, where <math>n</math> is an integer.</p> <p>There are several techniques to identify perfect cubes:</p> <ul> <li><strong>Examine the last digit:</strong> Perfect cubes have specific patterns in their last digit. By examining the last digit of a number, you can often determine if it's a perfect cube.</li> <li><strong>Prime factorization:</strong> Another method is to perform prime factorization of the number and check if each prime factor appears in groups of three.</li> <li><strong>Use a table of cubes:</strong> Memorizing the cubes of numbers from 1 to 10 can help quickly identify perfect cubes.</li> </ul> <h2>Examples</h2> <p>Let's consider a few examples to illustrate the identification of perfect cubes:</p> <h3>Example 1:</h3> <p>Identify whether 64 is a perfect cube.</p> <p>Using the examination of the last digit method, we find that the last digit of 64 is 4. The last digits of perfect cubes cycle in a specific pattern (0, 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9), and 4 is in this cycle. Hence, 64 is a perfect cube.</p> <h3>Example 2:</h3> <p>Identify whether 1000 is a perfect cube.</p> <p>By performing prime factorization, we find that <math>1000 = 2^3 \times 5^3</math>. Since both 2 and 5 appear in groups of three, 1000 is a perfect cube.</p> <h2>Conclusion</h2> <p>Identifying perfect cubes is an important skill in mathematics that finds applications in various fields. By understanding the basic concepts and techniques, one can easily recognize perfect cubes and utilize them in problem-solving.</p> </div>	Eine perfekte Kubikzahl ist die Kubikzahl eines anderen Polynoms. Der Tiger Algebra-Löser ermittelt perfekte Kubikzahlen und zeigt Dir die Schritt-für-Schritt-Lösungen.
LCMCalculator	Least common multiple (LCM)	kgV-Rechner
LCMCalculatorContent	The least common multiple (LCM), sometimes called the lowest common multiple or least common divisor (LCD), is the smallest number that two or more selected numbers can divide evenly into without a remainder. For example, <math>21</math> is the LCM of <math>3</math> and <math>7</math> because it is the lowest number that they both divide evenly into.<br><br> There are several ways to find the LCM: listing the multiples of each number, prime factorization, the cake or ladder method, the division method, or using the greatest common factor.<br><br> The Tiger Algebra LCM calculator not only finds the LCM but also shows the individual steps involved in doing so, helping you better understand and remember the process!	Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste Zahl, in die sich zwei oder mehr ausgewählte Zahlen gleichmäßig ohne Rest teilen lassen. Zum Beispiel ist <math>21</math> das kgV von <math>3</math> und <math>7</math>, da das die kleinste Zahl ist, in die sich beide gleichmäßig teilen lassen.<br><br> Es gibt mehrere Möglichkeiten, um das kgV zu ermitteln: Auflisten der Vielfachen jeder Zahl, Primfaktorzerlegung, die Kuchen- oder Leitermethode, Division oder mithilfe des größten gemeinsamen Teilers.<br><br> Der Tiger Algebra kgV-Rechner ermittelt nicht nur das kgV, sondern zeigt auch die einzelnen Schritte, die zur Ermittlung notwendig sind, was dir beim Verständnis und beim Merken hilft.
LinearEquationswithOneUnknown	Linear equations with one unknown	Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten
LinearEquationswithOneUnknownContent	The main application of linear equations is solving problems in which an unknown variable, usually (but not always) x, is dependent on a known constant.<br>We solve linear equations by isolating the unknown variable on one side of the equation and simplifying the rest of the equation. When simplifying, <b>anything that is done to one side of the equation must also be done to the other</b>.<br><br>An equation of:<br> <math>ax+b=0</math><br> in which <math>a</math> and <math>b</math> are the constants and <math>x</math> is the unknown variable, is a typical linear equation with one unknown. To solve for <math>x</math> in this example, we would first isolate it by subtracting <math>b</math> from both sides of the equation. We would then divide both sides of the equation by <math>a</math>, resulting in an answer of:<br><math>x = -b/a</math>	Die Hauptanwendung von linearen Gleichungen ist die Lösung von Aufgaben, bei denen eine Unbekannte, üblicherweise (aber nicht immer) x, von einer bekannten Konstante abhängt.<br>Wir können lineare Gleichungen durch Isolieren der Unbekannten auf einer Seite der Gleichung und Vereinfachen des Rests der Gleichung lösen. Beim Vereinfachen <b>müssen alle Operationen, die auf einer Seite der Gleichung angewandt werden, auch auf der anderen Seite angewandt werden</b>.<br><br>Eine Gleichung der Form:<br> <math>ax+b=0</math><br>, wobei <math>a</math> und <math>b</math> die bekannten Zahlen sind und <math>x</math> ein unbekannter Wert ist, wird als lineare Gleichung mit einer Unbekannten bezeichnet. Um in diesem Beispiel <math>x</math> zu ermitteln, isolieren wir es zuerst durch Subtrahieren von <math>b</math> von beiden Seiten der Gleichung. Danach dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch <math>a</math>, was die Lösung ergibt:<br><math>x = -b/a</math>
LinearEquationswithThreeUnknowns	Linear equations with three unknowns	Lineare Gleichungen mit drei Unbekannten
LinearEquationswithThreeUnknownsContent	A linear system of three equations with three variables is any system that can be written in the form.<br><br> where the constants (a,b,c,d,e,f,g,h and i) can be zero as long as each equation has at least one variable (x,y or z) in it. <br><br> In addition, for the system to be called linear, the variables can only to the first power, are only in the numerator and there are no products of variables in any of the equations. <br><br> A solution to a system of equations are values of x, y and z such that, when substituted into the equations, satisfies both equations at the same time. <br><br> Separate your equations with a semi-colon ";"" when feeding them to the Tiger.	Als lineares Gleichungssystem von drei Gleichungen mit drei Unbekannten gilt jedes System, das in der folgenden Form geschrieben werden kann:
LinearEquationswithTwoUnknowns	Linear equations with two unknowns	Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten
LinearEquationswithTwoUnknownsContent	A linear system of two equations with two variables is any system that can be written in the form. <br><br> <math>ax+by=p</math> <br> <math>cx+dy=q</math> <br><br> where the constants (a,b,c and d) can be zero as long as each equation has at least one variable (x or y) in it. In addition, for the system to be called linear, the variables can only to the first power, are only in the numerator and there are no products of variables in any of the equations. <br><br> A solution to a system of equations is a value of x and a value of y that, when substituted into the equations, satisfies both equations at the same time. <br><br> Separate you equations with a semi-colon ";" when feeding them to the Tiger	Als lineares Gleichungssystem von zwei Gleichungen mit zwei Variablen gilt jedes System, das in der folgenden Form geschrieben werden kann: <br><br> <math>ax+by=p</math> <br> <math>cx+dy=q</math> <br><br> Dabei können die Konstanten (a,b,c und d) den Wert null haben, solange jede Gleichung wenigstens eine Variable (x oder y) enthält. Damit das System als linear bezeichnet werden kann, dürfen die Variablen außerdem nur in erster Potenz und nur im Zähler stehen und es dürfen in keiner der Gleichungen Produkte von Variablen enthalten sein. <br><br> Ein Gleichungssystem wird durch Werte für x und y gelöst, die beim Einsetzen in die Gleichungen beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen. <br><br> Trenne deine Gleichungen mit einem Semikolon „;“ voneinander, wenn du sie dem Tiger vorsetzt.
LinearEquationsWithFourUnknowns	Linear equations with four unknowns	Lineare Gleichungen mit vier Unbekannten
LinearEquationsWithFourUnknownsContent	A group of four linear equations with four unknown factors forms a system of equations. To solve this system means finding the value of the unknown factors in a manner that verifies all of the equations in the system. The overall concept behind solving a system of equations is combining the equations in such a way that the number of variables is reduced. This can be done by substitution or elimination (also called row reduction), but also by graphing or using matrices. <div style="white-space: normal;"> <p>Linear equations with four unknowns are equations where each term is either a constant or a product of a constant and one of the four variables raised to the power of 1. The general form of such equations is:</p> <div style="margin-left: 20px;"> <math>a_1x + b_1y + c_1z + d_1w = k_1</math><br> <math>a_2x + b_2y + c_2z + d_2w = k_2</math><br> <math>a_3x + b_3y + c_3z + d_3w = k_3</math><br> <math>a_4x + b_4y + c_4z + d_4w = k_4</math>, </div> <p>where <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>, and <math>w</math> are the unknown variables, and <math>a_i, b_i, c_i, d_i</math> (for <math>i = 1, 2, 3, 4</math>) and <math>k_i</math> are constants.</p> <h2>Solving Methods</h2> <p>There are several methods to solve systems of linear equations with four unknowns, including:</p> <ul> <li><strong>Matrix Methods:</strong> Such as Gauss elimination or Cramer's rule.</li> <li><strong>Substitution:</strong> Solve one equation for one variable and substitute it into the other equations.</li> <li><strong>Elimination:</strong> Add or subtract equations to eliminate one variable at a time.</li> <li><strong>Row Reduction:</strong> Use row reduction techniques to transform the augmented matrix to row-echelon or reduced row-echelon form.</li> </ul> <h2>Example</h2> <p>Let's consider the following system of linear equations with four unknowns:</p> <div style="margin-left: 20px;"> <math>3x + 2y - z + 4w = 7</math><br> <math>2x - y + 3z - 2w = -5</math><br> <math>x + 2y + 2z - 3w = 8</math><br> <math>4x - y - z + 2w = -3</math>.<br> </div> <p>We can solve this system using any of the methods mentioned above to find the values of <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>, and <math>w</math>.</p> <p>Understanding how to solve systems of linear equations with four unknowns is essential for various applications in mathematics, physics, engineering, and other fields.</p> </div>	Eine Gruppe aus vier linearen Gleichungen mit vier unbekannten Faktoren bildet ein Gleichungssystem. Um dieses System zu lösen, müssen für die unbekannten Faktoren Werte ermittelt werden, die beim Einsetzen alle Gleichungen des Systems erfüllen. Die Lösung eines Gleichungssystems beruht darauf, dass die Gleichungen auf solche Weise kombiniert werden, dass die Anzahl der Variablen reduziert wird. Dies kann durch Substitution oder Elimination geschehen (auch Zeilenumformung genannt), aber auch mithilfe von Graphen oder Matrizen.
OtherFactorizations	Other factorizations	Andere Faktorisierungen
OtherFactorizationsContent	<div style="white-space: normal;"> <p>Factorization involves breaking down a number or algebraic expression into its constituent factors. Besides the common factorization techniques like prime factorization and polynomial factorization, there are other specialized methods used in specific contexts.</p> <h2>Specialized Techniques</h2> <ul> <li><strong>Difference of squares:</strong> Factoring expressions of the form \(a^2 - b^2\).</li> <li><strong>Sum or difference of cubes:</strong> Factoring expressions of the form \(a^3 + b^3\) or \(a^3 - b^3\).</li> <li><strong>Quadratic trinomials:</strong> Factoring quadratic expressions of the form \(ax^2 + bx + c\).</li> </ul> <h2>Applications</h2> <p>These specialized factorization techniques are commonly used in algebraic manipulations, simplifications, and solving equations.</p> </div>	<div style="white-space: normal;"> <p>Die Faktorisierung beinhaltet das Zerlegen einer Zahl oder algebraischen Ausdruck in seine konstituierenden Faktoren. Neben den gängigen Faktorisierungstechniken wie Primfaktorisierung und Polynomfaktorisierung gibt es andere spezialisierte Methoden, die in spezifischen Kontexten eingesetzt werden.</p> <h2>Spezialisierte Techniken</h2> <ul> <li><strong>Differenz der Quadrate:</strong> Faktorisierung von Ausdrücken der Form \(a^2 - b^2\).</li> <li><strong>Summe oder Differenz von Würfeln:</strong> Faktorisierung von Ausdrücken der Form \(a^3 + b^3\) oder \(a^3 - b^3\).</li> <li><strong>Quadratische Trinome:</strong> Faktorisierung quadratischer Ausdrücke der Form \(ax^2 + bx + c\).</li> </ul> <h2>Anwendungen</h2> <p>Diese spezialisierten Faktorisierungstechniken werden häufig in algebraischen Manipulationen, Vereinfachungen und beim Lösen von Gleichungen verwendet.</p> </div>
SolvingLinearEquationsBySubstitution	Solving linear equations by substitution	Lösung von linearen Gleichungen durch Substitution
SolvingLinearEquationsBySubstitutionContent	Substitution is one of the methods for solving linear equations. It is a good choice if there is a variable with a coefficient of 1. This method involves solving one of the equations for a variable and then substituting that expression into another equation to solve for another variable. This will produce a single equation with one variable, which can then be solved algebraically. <div style="white-space: normal;"> <p>Solving linear equations by substitution is a method used to find the values of variables in an equation system. This method involves solving one of the equations for one variable and then substituting that expression into the other equations.</p> <h2>Basic Steps</h2> <p>The basic steps for solving linear equations by substitution are as follows:</p> <ol> <li><p>Choose one of the equations and solve it for one variable in terms of the other variables.</p></li> <li><p>Substitute the expression found in step 1 into the other equations.</p></li> <li><p>Solve the resulting equations for the remaining variables.</p></li> <li><p>Check the solutions obtained by substituting them back into the original equations to verify their correctness.</p></li> </ol> <h2>Example</h2> <p>Let's solve the following system of linear equations by substitution:</p> <div style="margin-left: 20px;"> <math>2x + y = 8</math><br> <math>x - 3y = -5</math>.<br> </div> <p>From the first equation, we can solve for <math>y</math>:</p> <div style="margin-left: 20px;"> <math>y = 8 - 2x</math>.<br> </div> <p>Now, we substitute this expression for <math>y</math> into the second equation:</p> <div style="margin-left: 20px;"> <math>x - 3(8 - 2x) = -5</math>.<br> </div> <p>Solving this equation gives us the value of <math>x</math>. Once we have the value of <math>x</math>, we can substitute it back into the expression we found for <math>y</math> to find the value of <math>y</math>.</p> <p>Solving linear equations by substitution is a useful technique for finding solutions to systems of equations when the equations are linear.</p> </div>	Substitution ist eine der Methoden zur Lösung von linearen Gleichungen. Sie ist eine gute Wahl, wenn eine Variable mit dem Koeffizienten 1 vorliegt. Bei dieser Methode wird eine der Gleichungen für eine Variable gelöst, woraufhin dieser Ausdruck in eine andere Gleichung eingesetzt wird, um diese nach einer anderen Variable aufzulösen. Dadurch entsteht eine einzige Gleichung mit einer Variable, die dann algebraisch gelöst werden kann.
LinearInequalities	Linear inequalities	Lineare Ungleichungen
MultiplyingExponents	Multiplying exponents	Multiplikation von Exponenten
MultiplyingExponentsContent	Exponents are a shorter way of noting repeated multiplication of the same thing by itself. <br> For example <math>777*7=7^4</math> <br> The 'exponent', 4 in the above example, tells us how many times the value is being multiplied. The value being multiplied, 7 in our example, is called the 'base'. The Tiger Algebra multiplies exponents, showing you the step by step solution. <br> For example, you can enter	Exponenten sind eine vereinfachte Art, die wiederholte Multiplikation desselben Ausdrucks mit sich selbst auszudrücken. <br> Zum Beispiel gilt <math>777*7=7^4</math> <br> Der „Exponent“, im obigen Beispiel 4, zeigt an, wie oft der Wert mit sich selbst multipliziert wird. Der multiplizierte Wert, in unserem Beispiel 7, wird als „Basis“ oder „Grundzahl“ bezeichnet. Tiger Algebra multipliziert Exponenten und zeigt dir die Lösung Schritt für Schritt. <br> Du kannst zum Beispiel Folgendes eingeben:

Key	English	German
IntegerToRomanNumeralStep1Title1	Identify integer	Ganze Zahl normalisieren und lesen
IntegerToRomanNumeralStep2TextUnit1	Split the number into place values: <math>{placeValues}</math>, then map each part to Roman symbols: <math>{romanPieces}</math>.	<math>{placeValues}</math>, <math>{romanPieces}</math>.
IntegerToRomanNumeralStep2Title1	Decompose place values	In Stellenwerte zerlegen
IntegerToRomanNumeralStep3TextUnit1	Combine the mapped symbols to get the canonical Roman numeral: <math>{integerValue}</math> → <math>{romanResult}</math>.	<math>{integerValue}->{romanResult}</math>.
IntegerToRomanNumeralStep3Title1	Build Roman numeral	Romische Symbole zusammensetzen
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LCMCalculator	Least common multiple (LCM)	kgV-Rechner
LCMCalculatorContent	The least common multiple (LCM), sometimes called the lowest common multiple or least common divisor (LCD), is the smallest number that two or more selected numbers can divide evenly into without a remainder. For example, <math>21</math> is the LCM of <math>3</math> and <math>7</math> because it is the lowest number that they both divide evenly into.<br><br> There are several ways to find the LCM: listing the multiples of each number, prime factorization, the cake or ladder method, the division method, or using the greatest common factor.<br><br> The Tiger Algebra LCM calculator not only finds the LCM but also shows the individual steps involved in doing so, helping you better understand and remember the process!	Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste Zahl, in die sich zwei oder mehr ausgewählte Zahlen gleichmäßig ohne Rest teilen lassen. Zum Beispiel ist <math>21</math> das kgV von <math>3</math> und <math>7</math>, da das die kleinste Zahl ist, in die sich beide gleichmäßig teilen lassen.<br><br> Es gibt mehrere Möglichkeiten, um das kgV zu ermitteln: Auflisten der Vielfachen jeder Zahl, Primfaktorzerlegung, die Kuchen- oder Leitermethode, Division oder mithilfe des größten gemeinsamen Teilers.<br><br> Der Tiger Algebra kgV-Rechner ermittelt nicht nur das kgV, sondern zeigt auch die einzelnen Schritte, die zur Ermittlung notwendig sind, was dir beim Verständnis und beim Merken hilft.
LCMCalculatorFormattingGuide	<p>The least common multiple is the smallest number that is divisible by all other numbers in a sequence.</p> <p>For example, if you have a sequence 1, 2, 3, the Least Common Multiple is 6.</p> <p>lcm(1, 2, 3) = 6</p> <br> <h4>Common issues:</h4> <p>Don’t forget to write “lcm,” “least common multiple” or “LCM.”</p> <br> <h3>Examples</h3> <ul> <li><a href=/en/solution/least-common-multiple/lcm%20(24,20,36)/">lcm(24, 20, 36)</a></li> <li><a href="/en/solution/least-common-multiple/LCM%20of%2040%2048%2035/">LCM of 40 48 35</a></li> <li><a href="/en/solution/least-common-multiple/14,22,66LCM/">14,22,66LCM</a></li> <li><a href="/en/solution/least-common-multiple/least%20common%20multiple%201,2,3/">least common multiple 1,2,3</a></li> <li><a href="/en/solution/least-common-multiple/Lcm(21,35,20)/">Lcm(21,35,20)</a></li> </ul>	<p>Das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste Zahl, die durch alle anderen Zahlen in einer Sequenz teilbar ist.</p> <p>Zum Beispiel ist das kleinste gemeinsame Vielfache einer Sequenz 1, 2, 3 ist 6.</p> <p>kgV(1, 2, 3) = 6</p> <br> <h4>Gemeinsame Probleme:</h4> <p>Vergessen Sie nicht, "kgV", "kleinstes gemeinsames Vielfaches" oder "LCM zu schreiben".</p> <br> <h3>Beispiele</h3> <ul> <li><a href=/en/solution/least-common-multiple/lcm%20(24,20,36)/">kgV(24, 20, 36)</a></li> <li><a href="/en/solution/least-common-multiple/LCM%20of%2040%2048%2035/">kgV von 40 48 35</a></li> <li><a href="/en/solution/least-common-multiple/14,22,66LCM/">14,22,66kgV</a></li> <li><a href="/en/solution/least-common-multiple/least%20common%20multiple%201,2,3/">kleinstes gemeinsames Vielfaches 1,2,3</a></li> <li><a href="/en/solution/least-common-multiple/Lcm(21,35,20)/">kgV(21,35,20)</a></li> </ul>
LearnMoreWithTiger	Learn more with Tiger	Mit Tiger lernst du mehr!
LeastCommonMultipleSolver	Least common multiple (LCM) by prime factorization	Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) durch Primfaktorzerlegung
LeastCommonMultipleSolver.plugin	the least common multiple (LCM) by prime factorization	das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) durch Primfaktorzerlegung
LeastCommonMultipleSolverSolverSpokenDescription	You entered an least common multiple problem!	Du hast eine Aufgabe mit einem kleinsten gemeinsamen Vielfachen eingegeben!
LeastCommonMultipleSolverStep1SingleNumber	The LCM (Least Common Multiple) of a single number is the number itself. Therefore, the LCM is {StepFinalResult}. <br><br> To find the LCM (Least Common Multiple) of a number, we need at least two numbers to compare. Could you please provide another number?	Das kgV (kleinste gemeinsame Vielfache) einer einzelnen Zahl ist die Zahl selbst. Daher ist das kgV {StepFinalResult}. <br><br> Um das kgV (kleinste gemeinsame Vielfache) einer Zahl zu finden, benötigen wir mindestens zwei Zahlen zum Vergleichen. Könnten Sie bitte eine weitere Zahl angeben?
LeastCommonMultipleSolverStep2Spoken	We continue, by counting how often each prime factor appears.	Wir fahren fort, indem wir zählen, wie oft jeder Primfaktor vorkommt.
LeastCommonMultipleSolverStep2TableColLCMmax	Max. occurrence	Max. Auftreten
LeastCommonMultipleSolverStep2TableColPrimeFactor	Prime factor	Primfaktor
LeastCommonMultipleSolverStep2TableTextUnit1	The prime {Step2AllFactorsWithOneOccurrenceList.Count: factor \| factors } {Step2AllFactorsWithOneOccurrenceList:{ListElement}\|, \| and } {Step2AllFactorsWithOneOccurrenceList.Count: occurs \| occur } one time.	{Step2AllFactorsWithOneOccurrenceList.Count:Der Primfaktor \| Die Primfaktoren } {Step2AllFactorsWithOneOccurrenceList:{ListElement}\|, \| und } {Step2AllFactorsWithOneOccurrenceList.Count: tritt \| treten } einmal auf.
LeastCommonMultipleSolverStep2TableTextUnit2	The prime {Step2AllFactorsWithMoreOccurrencesList.Count: factor \| factors } {Step2AllFactorsWithMoreOccurrencesList:{ListElement}\|, \| and } {Step2AllFactorsWithMoreOccurrencesList.Count: occurs \| occur } more than once.	{Step2AllFactorsWithMoreOccurrencesList.Count: Der Primfaktor \| Die Primfaktoren } {Step2AllFactorsWithMoreOccurrencesList:{ListElement}\|, \| und } {Step2AllFactorsWithMoreOccurrencesList.Count: tritt \| treten } mehr als einmal auf.
LeastCommonMultipleSolverStep2TableTextUnit3	The prime {Step2AllFactorsWithOneOccurrenceList.Count: factor \| factors } {Step2AllFactorsWithOneOccurrenceList:{ListElement}\|, \| and } {Step2AllFactorsWithOneOccurrenceList.Count: occurs \| occur } one time, while {Step2AllFactorsWithMoreOccurrencesList:{ListElement}\|, \| and } {Step2AllFactorsWithMoreOccurrencesList.Count: occurs \| occur } more than once.	{Step2AllFactorsWithOneOccurrenceList.Count: Der Primfaktor \| Die Primfaktoren } {Step2AllFactorsWithOneOccurrenceList:{ListElement}\|, \| und } {Step2AllFactorsWithOneOccurrenceList.Count: tritt \| treten } einmal auf, während {Step2AllFactorsWithMoreOccurrencesList:{ListElement}\|, \| und } mehr als einmal {Step2AllFactorsWithMoreOccurrencesList.Count: auftritt\| auftreten}.
LeastCommonMultipleSolverStep2TableTitle	Determine the maximum number of times each prime factor ({Step2AllUniquePrimeFactorsList:{ListElement}\|, }) occurs in the factorization of the given numbers:	Bestimme die maximale Häufigkeit, mit der jeder Primfaktor ({Step2AllUniquePrimeFactorsList:{ListElement}\|, }) bei der Faktorisierung der vorgegebenen Zahlen auftritt:
LeastCommonMultipleSolverStep2Title	Build a prime factors table	Erstelle eine Primfaktorentabelle

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Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste Zahl, in die sich zwei oder mehr ausgewählte Zahlen gleichmäßig ohne Rest teilen lassen. Zum Beispiel ist <math>21</math> das kgV von <math>3</math> und <math>7</math>, da das die kleinste Zahl ist, in die sich beide gleichmäßig teilen lassen. 

Es gibt mehrere Möglichkeiten, um das kgV zu ermitteln: Auflisten der Vielfachen jeder Zahl, Primfaktorzerlegung, die Kuchen- oder Leitermethode, Division oder mithilfe des größten gemeinsamen Teilers. 

Der Tiger Algebra kgV-Rechner ermittelt nicht nur das kgV, sondern zeigt auch die einzelnen Schritte, die zur Ermittlung notwendig sind, was dir beim Verständnis und beim Merken hilft.

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