Tiger Algebra/core — German @ Weblate: The distance formula, an application of the Pythagorean theorem, is …

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Key DistanceBetweenTwoPointsAndTheirMidpointContent

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The distance formula, an application of the Pythagorean theorem, is a very helpful tool for finding the distance between two points. The Pythagorean theorem states the following: in a right triangle, the length of side <math>a</math> squared plus the length of side <math>b</math> squared is equal to the length of the hypotenuse (side <math>c</math>) squared. 
<math>a^2+b^2=c^2</math> 
<img src="/images/distance-between-two-points-graph1.png" alt="Distance between two points graph"> 
The hypotenuse (<math>c</math>) is the longest side of a right triangle and is always opposite the right angle. The length of the hypotenuse also represents the distance between points A and B, which can each be represented by two coordinates: an <math>x</math> coordinate and a <math>y</math> coordinate. 
Point A = <math>(x_1,y_1)</math> 
Point B = <math>(x_2,y_2)</math> 
To get the distance formula, we can rewrite the Pythagorean theorem as: 
<math>d=\sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}</math> 
in which <math>d</math> represents the distance between points A and B, and the Xs and Ys represent the <math>x</math> and <math>y</math> coordinates of points A and B. 
In order to find the distance between two points, enter their coordinates (for example (1,2) and (3,4)) and click the solve button.

German

Die Entfernungsformel, eine Anwendung des Satzes des Pythagoras, ist zur Bestimmung des Abstands zwischen zwei Punkten sehr nützlich. Der Satz des Pythagoras lautet folgendermaßen: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Länge der Seite <math>a</math> zum Quadrat plus die Länge der Seite <math>b</math> zum Quadrat gleich der Länge der Hypotenuse (Seite <math>c</math>) zum Quadrat. 
<math>a^2+b^2=c^2</math> 
<img src="/images/distance-between-two-points-graph1.png" alt="Distance between two points graph"> 
Die Hypotenuse (<math>c</math>) ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks und liegt immer dem rechten Winkel gegenüber. Die Länge der Hypotenuse repräsentiert auch die Distanz zwischen den Punkten A und B, die jeweils durch zwei Koordinaten repräsentiert werden können: einer <math>X</math>-Koordinate und einer <math>Y</math>-Koordinate. 
Punkt A = <math>(X_1,Y_1)</math> 
Punkt B = <math>(X_2,Y_2)</math> 
Um die Entfernungsformel zu erhalten, können wir den Satz von Pythagoras folgendermaßen umschreiben: 
<math>d=sqrt((x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2)</math> 
wobei <math>d</math> der Abstand zwischen den Punkten A und B ist und die X- und Y-Koordinaten die <math>X</math>- und <math>Y</math>-Koordinaten der Punkte A und B sind. 
Gib zur Ermittlung der Entfernung zwischen zwei Punkten die Koordinaten der Punkte ein, (zum Beispiel (1,2) und (3,4)), und klicke auf Lösen.

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Key	English	German
ApproximationTopic	Approximation	Näherung
Approximation	Approximation	Näherung
ApproximationContent	Approximation in mathematics is defined as a quantity close in value to but not the same as a desired quantity. Two mathematical symbols denote approximate equality: a wavy equal sign (≈) and a dotted equal sign (≒ or ≓). <br><br> Approximation is often used when an precise form or integer is not known or easily obtainable as well as with irrational numbers, such as π. Approximation can turn a complex calculation, for example, involving decimals into one that uses integers, or whole numbers, making it easier to solve. This is achieved by rounding the decimal values before performing any further operations.	Ein Näherungswert ist in der Mathematik als ein Wert definiert, welcher dem gewünschten Wert nahekommt, diesem aber nicht genau entspricht. Zwei mathematische Symbole kennzeichnen einen Näherungswert: ein gewelltes Gleichheitszeichen (≈) und ein gepunktetes Gleichheitszeichen (≒ oder ≓). <br><br> Näherungswerte werden oft verwendet, wenn eine exakte Form oder ganze Zahl nicht bekannt oder nicht leicht ermittelbar ist, sowie bei irrationalen Zahlen, etwa bei π. Durch Näherungen kann eine komplexe Berechnung, die zum Beispiel Nachkommastellen beinhaltet, in eine Berechnung umgewandelt werden, die ganze Zahlen verwendet und so einfacher zu lösen ist. Das wird erreicht, indem die Nachkommastellen gerundet werden, bevor irgendwelche anderen Schritte unternommen werden.
ArithmeticSequence	Arithmetic sequences	Arithmetische Folge
ArithmeticSequenceContent	An arithmetic sequence, or arithmetic progression, is a set of numbers in which the difference between consecutive terms (terms that come after one another) is constant. This difference is called the common difference. For example, all of the consecutive terms in the arithmetic sequence:<br> <b><math>1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, . . .</math></b><br> share a common difference of <math>3</math>.<br> Note: The three dots (. . .) mean that this sequence is infinite.<br><br> Though others can also be used, the following variables are typically used to represent the terms of an arithmetic sequence:<br> <math>a_1</math> represents the first term of the sequence. In the example above, <math>a_1=1</math><br> <math>a_n</math> represents the nth term (a term we are trying to find).<br> <math>d</math> represents the common difference between consecutive terms. In the example above, <math>d=3</math><br> <math>n</math> represents the number of terms in the sequence. In the example above, <math>n=7</math><br><br> The standard form of arithmetic sequences can be expressed as: <math>a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, a+5d . . .</math><br> <math>a</math> represents the first term and is sometimes written as <math>a_1</math>.<br> <math>d</math> represents the common difference.<br><br> <b>Formulas</b><br><br> <b>Finding any term (<math>a_n</math>) in an arithmetic sequence:</b><br> <b><math>a_n=a+d(n-1)</math></b><br><br> <math>a\:</math> represents the first term.<br> <math>d\:</math> represents the common difference.<br> <math>n\:</math> represents the position of a term in the sequence.<br> A sequence with <math>\:n\:</math> number of terms would be written as:<br> <math>a, a+d(2-1), a+d(3-1), a+d(4-1), a+d(5-1), a+d(6-1) ... a+d(n-1)</math><br> in which the last term's common difference is multiplied by <math>\:n-1\:</math> (because <math>\:d\:</math> is not used in the 1st term).<br><br> Example: To find the next term in:<br> <math>1, 4, 7, 10, 13, 16, 19...</math><br> which would be the 8th term, we would plug the following into the general term formula <math>\:a_n= a+d(n-1)</math>:<br> <math>a\:</math> (first term) <math> =1</math><br> <math>d\:</math> (common difference) <math> =3</math><br> <math>n\:</math> (term number) <math> =8</math><br> This would give us:<br> <math>a_8=1+3(8-1)\:</math> which we could solve to get <math>\:a_8=22</math>.<br> So, our sequence would be: <math>\:1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22...</math><br><br> <b>Finding the sum of all the terms in an arithmetic sequence:</b><br> <b><math>s=n(a_1+a_n)/2</math></b><br><br> <math>s\:</math> is the sum of the terms in the sequence.<br> <math>a\:</math> represents the first term.<br> <math>n\:</math> represents the position of a term in the sequence.<br> <math>d\:</math> represents the common difference.<br> Example: To find the sum of:<br> <math>1, 4, 7, 10, 13, 16, 19...\:</math> we plug the following into the sum formula <math>\:s=n(a_1+a_n)/2</math> :<br> <math>n\:</math> (total number of terms)<math> =7</math><br> <math>a\:</math> (first term)<math> =1</math><br> <math>a_n\:</math> (the last term)<math> =19</math><br> This would give us:<br> <math>s=7(1+19)/2\:</math> which we could solve to get <math>\:s=70</math>.<br> So, the sum of the sequence would be: <math>\:70</math><br> Tiger identifies arithmetic sequences and displays their terms, the sum of their terms, and their explicit and recursive forms.	Eine arithmetische Folge oder arithmetische Progression ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen den aufeinanderfolgenden Gliedern konstant ist. Beispielsweise ist die Folge:<br><b> 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, . . .</b><br> eine arithmetische Folge mit der gemeinsamen Differenz von 3.<br><br>Üblicherweise (aber nicht notwendigerweise) werden die folgenden Variablen verwendet, um die Glieder einer arithmetischen Folge darzustellen:<br> <b>a1</b> repräsentiert das erste Glied.<br> <b>an</b> repräsentiert das allgemeine Glied, das wir finden wollen.<br> <b>d</b> repräsentiert die gemeinsame Distanz zwischen den Gliedern.<br> <b>n</b> repräsentiert die Anzahl der Glieder in der Folge.<br><br>Tiger erkennt arithmetische Folgen und zeigt die Terme der Folge, die Summe der Terme, die allgemeine Form der Folge sowie die rekursive Form an.
BasicComplexOperations	Basic complex operations	Elementare Operationen mit komplexen Zahlen
BasicComplexOperationsContent	A complex number is a number that can be expressed in the form <math>a + bi</math>, where a and b are real numbers and i is the imaginary unit, that satisfies the equation <math>x^2=−1</math>, that is, <math>i^2=−1</math>. In this expression, a is the real part and b is the imaginary part of the complex number. <br><br> The Tiger Algebra Calculator performs the basic operations on complex/imaginary numbers and shows you the step by step solution.	Eine komplexe Zahl ist eine Zahl, die in der Form <math>a + bi</math> ausgedrückt werden kann, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist, welche die Gleichung <math>x^2=−1</math> erfüllt, das heißt, <math>i^2=−1</math>. In diesem Ausdruck ist a der reelle Teil und b der imaginäre Teil der komplexen Zahl. <br><br> Der Tiger Algebra-Rechner führt die elementaren Operationen für komplexe/imaginäre Zahlen durch und zeigt dir die Lösung schrittweise.
CancelingOut	Canceling out	Kürzen
CancelingOutContent	When simplifying fractions you can sometimes divide the top (NUMERATOR) and bottom (DENOMINATOR) of a fraction by the same number. This simplification of a fraction is referred to as canceling out/down . Common problems require you to write a fraction in its simplest terms. To achieve that, you must keep canceling the fraction until it cannot be cancelled anymore. <br><br> The Tiger Algebra Solver and Calculator can help you check your answers when canceling out.	Bei der Vereinfachung von Brüchen kannst Du manchmal den oberen Teil (ZÄHLER) und den unteren Teil (NENNER) eines Bruchs durch die gleiche Zahl teilen. Diese Vereinfachung eines Bruchs wird als Kürzen bezeichnet. Viele Aufgaben erfordern es, dass man einen Bruch auf die einfachste Art schreibt. Um das zu erreichen, muss man den Bruch immer weiter kürzen, bis er nicht mehr weiter gekürzt werden kann. <br><br> Der Tiger Algebra-Rechner kann Dir helfen, beim Kürzen Deine Lösungen zu überprüfen.
CircleTopic	Circle from equation	Kreis aus einer Gleichung
CircleContent	In geometry, a circle is a shape made up of all the points on a plane at a fixed distance around a given point (the center). The equation for a circle is <math>(x-h)^2+(y-k)^2=r^2</math>, in which <math>h</math> and <math>k</math> represent the circle's center and <math>r</math> represents the circle's radius, the distance from the circle's center to any point on its perimeter. A circle with a center at <math>(4,5)</math> and a radius of <math>10</math>, for example, could be expressed as <math>(x-4)^2+(y-5)^2=100</math> <br> <img src="/images/circleImg1.png" alt="circle graph"> <br> <img src="/images/circleImg2.png" alt="circle related terms diameter, radius, chord, secant, tangent"> <br> <b>Relevant terms:</b><br> <ul> <li><b>Center</b>: The point around which a circle is formed. All points on a circle's perimeter are the same distance from the circle's center.</li><br> <li><b>Circumference</b>: The distance around a circle.</li><br> <li><b>Radius</b>: A line segment that lies between the center of a circle and any point on the circle's perimeter</li>.<br> <li><b>Diameter</b>: A line segment that lies between two points on a circle's perimeter and runs through the circle's center. It is equal to two times the circle's radius.</li><br> <li><b>Chord</b>: A line segment that lies between two points on a circle's perimeter and does not run through the circle's center.</li><br> <li><b>Secant</b>: A line that intersects two points on a circle's perimeter.</li><br> <li><b>Tangent</b>: A line that intersects one point on a circle's perimeter.</li> </ul>	In der Geometrie ist ein Kreis eine Figur, die aus allen Punkten in einer Ebene in einem festen Abstand um einen bestimmten Punkt (den Mittelpunkt) besteht. Die Kreisgleichung lautet <mah>((x-h)^2)+((y-k)^2)=r^2</math>, wobei (h,k) den Mittelpunkt des Kreises und r den Radius des Kreises darstellt, das heißt, den Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu allen Punkten auf seinem Umfang. Ein Kreis mit einem Mittelpunkt bei (4,5) und einem Radius von 10 könnte zum Beispiel als </mah>((x-4)^2)+((y-5)^2)=100</math> dargestellt werden. <br> <img src="/images/circleImg1.png" alt="circle graph"> <br> <img src="/images/circleImg2.png" alt="circle related terms diameter, radius, chord, secant, tangent"> <br> Wichtige Begriffe: <ul> <li>Mittelpunkt: der Punkt, um den ein Kreis gebildet wird. Alle Punkte auf dem Kreisumfang befinden sich im gleichen Abstand vom Mittelpunkt des Kreises.</li> <li>Umfang: die Distanz um einen Kreis herum.</li> <li>Radius: ein Liniensegment zwischen dem Mittelpunkt des Kreises und einem beliebigen Punkt auf dem Umfang des Kreises.</li> <li>Durchmesser: ein Liniensegment zwischen zwei Punkten auf dem Kreisumfang, das durch den Mittelpunkt des Kreises führt. Seine Länge beträgt das Zweifache des Radius des Kreises.</li> <li>Sehne: ein Liniensegment zwischen zwei Punkten auf dem Kreisumfang, das nicht durch den Mittelpunkt des Kreises führt.</li> <li>Sekante: eine Gerade, die zwei Punkte auf dem Kreisumfang schneidet.</li> <li>Tangente: eine Gerade, die einen Punkt auf dem Kreisumfang schneidet.</li> </ul>
Combination	Combination	Kombination
CombinationTopic	Combination	Kombination
CombinationContent	In mathematics, a combination is a way of selecting items from a collection, such that (unlike permutations) the order of selection does not matter. In smaller cases it is possible to count the number of combinations. <br><br>Tiger Algebra calculates the number of combinations showing you the step by step solution. To activate, enter your input in one of the following forms: <div style="white-space: normal;"> <p>In combinatorics, a combination is a selection of items from a larger set, where the order of selection does not matter. Combinations are often used to count the number of ways to choose a subset of objects from a larger set.</p> <h2>Formula</h2> <p>The number of combinations of <math>k</math> items chosen from a set of <math>n</math> items (denoted as <math>C(n, k)</math> or <math>{n \choose k}</math>) is calculated using the combination formula:</p> <div style="margin-left: 20px;"> <math>C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}</math>, </div> <p>where <math>n!</math> represents the factorial of <math>n</math>, defined as the product of all positive integers less than or equal to <math>n</math>.</p> <h2>Properties</h2> <ul> <li>The number of combinations is always a non-negative integer.</li> <li>Combinations are unordered, meaning that selecting the same set of items in a different order does not create a new combination.</li> <li>The number of combinations is often used in probability calculations and counting problems.</li> </ul> <h2>Example</h2> <p>Suppose we have a set of 5 letters: A, B, C, D, and E. We want to choose 3 letters from this set without regard to the order of selection. The number of possible combinations is:</p> <div style="margin-left: 20px;"> <math>C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5 - 3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10</math>. </div> <p>Therefore, there are 10 different combinations of 3 letters that can be chosen from the set {A, B, C, D, E}.</p> <p>Combinations are fundamental in combinatorial mathematics and have numerous applications in various fields, including statistics, computer science, and cryptography.</p> </div>	In der Mathematik ist eine Kombination eine Art, Elemente so aus einer Grundmenge auszuwählen, dass die Reihenfolge ihrer Auswahl keine Rolle spielt (anders als bei Permutationen). In kleineren Fällen ist es möglich, die Anzahl der Kombinationen zu zählen. <br><br> Tiger Algebra berechnet die Anzahl der Kombinationen und zeigt dir die Lösung Schritt für Schritt. Zur Aktivierung gibst du deine Eingabe in einer der folgenden Formen ein:
DistanceBetweenTwoPointsAndTheirMidpoint	Distance between two points	Abstand zwischen zwei Punkten und ihrem Mittelpunkt
DistanceBetweenTwoPointsAndTheirMidpointContent	The distance formula, an application of the Pythagorean theorem, is a very helpful tool for finding the distance between two points. The Pythagorean theorem states the following: in a right triangle, the length of side <math>a</math> squared plus the length of side <math>b</math> squared is equal to the length of the hypotenuse (side <math>c</math>) squared.<br> <math>a^2+b^2=c^2</math><br> <img src="/images/distance-between-two-points-graph1.png" alt="Distance between two points graph"><br><br> The hypotenuse (<math>c</math>) is the longest side of a right triangle and is always opposite the right angle. The length of the hypotenuse also represents the distance between points <b>A</b> and <b>B</b>, which can each be represented by two coordinates: an <math>x</math> coordinate and a <math>y</math> coordinate.<br> Point <b>A</b> = <math>(x_1,y_1)</math><br> Point <b>B</b> = <math>(x_2,y_2)</math><br><br> To get the distance formula, we can rewrite the Pythagorean theorem as:<br> <math>d=\sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}</math><br> in which <math>d</math> represents the distance between points <b>A</b> and <b>B</b>, and the Xs and Ys represent the <math>x</math> and <math>y</math> coordinates of points <b>A</b> and <b>B</b>.<br><br> In order to find the distance between two points, enter their coordinates (for example (1,2) and (3,4)) and click the solve button.	Die Entfernungsformel, eine Anwendung des Satzes des Pythagoras, ist zur Bestimmung des Abstands zwischen zwei Punkten sehr nützlich. Der Satz des Pythagoras lautet folgendermaßen: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Länge der Seite <math>a</math> zum Quadrat plus die Länge der Seite <math>b</math> zum Quadrat gleich der Länge der Hypotenuse (Seite <math>c</math>) zum Quadrat.<br> <math>a^2+b^2=c^2</math><br> <img src="/images/distance-between-two-points-graph1.png" alt="Distance between two points graph"><br><br> Die Hypotenuse (<math>c</math>) ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks und liegt immer dem rechten Winkel gegenüber. Die Länge der Hypotenuse repräsentiert auch die Distanz zwischen den Punkten <b>A</b> und <b>B</b>, die jeweils durch zwei Koordinaten repräsentiert werden können: einer <math>X</math>-Koordinate und einer <math>Y</math>-Koordinate.<br> Punkt <b>A</b> = <math>(X_1,Y_1)</math><br> Punkt <b>B</b> = <math>(X_2,Y_2)</math><br><br> Um die Entfernungsformel zu erhalten, können wir den Satz von Pythagoras folgendermaßen umschreiben:<br> <math>d=sqrt((x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2)</math><br> wobei <math>d</math> der Abstand zwischen den Punkten <b>A</b> und <b>B</b> ist und die X- und Y-Koordinaten die <math>X</math>- und <math>Y</math>-Koordinaten der Punkte <b>A</b> und <b>B</b> sind.<br><br> Gib zur Ermittlung der Entfernung zwischen zwei Punkten die Koordinaten der Punkte ein, (zum Beispiel (1,2) und (3,4)), und klicke auf Lösen.
DividingExponents	Dividing exponents	Division von Potenzen
DividingExponentsContent	<div style="white-space: normal;"> <p>When dividing expressions with exponents, you can use the properties of exponents to simplify the expression. Here's how:</p> <h2>Step 1: Subtract Exponents</h2> <p>To divide two terms with the same base, subtract the exponent of the divisor from the exponent of the dividend. For example, <math>x^a ÷ x^b = x^(a - b)</math>.</p> <p>For instance, if you have <math>x^5 ÷ x^2</math>, you subtract the exponents: <math>x^(5 - 2) = x^3</math>.</p> <h2>Step 2: Simplify</h2> <p>If there are additional terms in the expression, simplify them as well. For example, if you have <math>(x^5 * y^3) ÷ (x^2 * y)</math>, divide the x's and y's separately: <math>x^(5 - 2) * y^(3 - 1) = x^3 * y^2</math>.</p> <p>Remember, when dividing exponents with the same base, subtract the exponents.</p> <p>This process is crucial in algebra and higher-level mathematics when dealing with expressions containing exponents.</p> </div>	Der Tiger Algebra-Löser zeigt Dir Schritt für Schritt, wie man Potenzen dividiert. Zum Beispiel:
DividingFractions	Dividing fractions	Division von Bruchzahlen
DividingFractionsContent	<div style="white-space: normal;"> <p>Dividing fractions is a fundamental operation in mathematics, especially in arithmetic and algebra. When dividing fractions, we follow specific rules to simplify the process and obtain the result.</p> <h2>Basic Concepts</h2> <p>To divide fractions, it's important to understand the following concepts:</p> <ul> <li><strong>Fractions:</strong> Numbers that represent parts of a whole or ratios of two quantities.</li> <li><strong>Dividing fractions:</strong> The process of dividing one fraction by another to find the quotient.</li> <li><strong>Reciprocal:</strong> The reciprocal of a fraction <math>\frac{a}{b}</math> is <math>\frac{b}{a}</math>.</li> </ul> <h2>Division Techniques</h2> <p>There are two common techniques to divide fractions:</p> <ul> <li><strong>Using reciprocals:</strong> Multiply the first fraction by the reciprocal of the second fraction.</li> <li><strong>Converting to multiplication:</strong> Convert the division operation to multiplication by multiplying the first fraction by the reciprocal of the second fraction.</li> </ul> <h2>Examples</h2> <p>Let's consider a few examples to illustrate the division of fractions:</p> <h3>Example 1:</h3> <p>Divide <math>\frac{3}{4}</math> by <math>\frac{1}{2}</math></p> <p>Using the reciprocal technique, we multiply the first fraction by the reciprocal of the second fraction:</p> <p><math>\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times 2 = \frac{6}{4}</math></p> <p>Since <math>\frac{6}{4}</math> can be simplified to <math>\frac{3}{2}</math>, the result is <math>\frac{3}{2}</math>.</p> <h3>Example 2:</h3> <p>Divide <math>\frac{5}{8}</math> by <math>\frac{2}{3}</math></p> <p>We convert the division operation to multiplication by multiplying the first fraction by the reciprocal of the second fraction:</p> <p><math>\frac{5}{8} \div \frac{2}{3} = \frac{5}{8} \times \frac{3}{2}</math></p> <p>After simplification, we get the result as <math>\frac{15}{16}</math>.</p> <h2>Conclusion</h2> <p>Dividing fractions is a fundamental operation that plays a crucial role in various mathematical contexts. Mastering the techniques of fraction division enables efficient problem-solving and enhances mathematical understanding.</p> </div>	Der Tiger Algebra-Rechner teilt Bruchzahlen und zeigt dir die Lösung Schritt für Schritt, zum Beispiel:
EquationswhichareReducibletoQuadratic	Equations which are reducible to quadratic	Gleichungen, die auf quadratische Gleichungen reduziert werden können
EquationswhichareReducibletoQuadraticContent	The Tiger Algebra solver shows you, step by step how to find which equations are reducable to which Quadratic equations. <div style="white-space: normal;"> <p>Some equations can be transformed or manipulated into a quadratic equation, which makes them easier to solve. Equations that can be reduced to quadratic form often involve variables raised to powers or contain multiple terms.</p> <h2>Types of Equations</h2> <p>Equations that are reducible to quadratic form include:</p> <ul> <li><strong>Equations involving radicals:</strong> Equations with square roots or other radicals can often be squared to eliminate the radical and form a quadratic equation.</li> <li><strong>Equations with rational expressions:</strong> Equations containing rational expressions can sometimes be transformed into quadratic equations by clearing denominators.</li> <li><strong>Equations with variable substitutions:</strong> Substituting a new variable can sometimes transform a given equation into a quadratic equation.</li> <li><strong>Equations involving trigonometric functions:</strong> Trigonometric identities or trigonometric substitutions can sometimes reduce trigonometric equations to quadratic form.</li> </ul> <h2>Example</h2> <p>Let's consider the equation <math>\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3</math>. We can rewrite it as:</p> <div style="margin-left: 20px;"> <math>\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3 \Rightarrow \frac{y - x}{xy} = 3 \Rightarrow y - x = 3xy</math>.<br> </div> <p>Now, let's make a substitution, <math>z = xy</math>. This transforms the equation into a quadratic equation:</p> <div style="margin-left: 20px;"> <math>y - x = 3xy \Rightarrow y - x = 3z \Rightarrow 3z - y + x = 0</math>.<br> </div> <p>This equation is now in quadratic form, and we can solve it using quadratic equation-solving techniques.</p> <p>Understanding how to manipulate equations into quadratic form can simplify the solving process and make it more manageable.</p> </div>	Der Tiger Algebra-Löser zeigt Dir Schritt für Schritt, wie Du herausfindest, welche Gleichungen in welche quadratischen Gleichungen umgeformt werden können.
FactoringBinomialsAsSumOrDifferenceOfCubes	Factoring binomials as sum or difference of cubes	Faktorisierung von Binomen als Summe oder Differenz von Kubikzahlen
FactoringBinomialsAsSumOrDifferenceOfCubesContent	Factoring binomials as the sum or the difference of cubes <br><br> To find the sum or the difference of cubes, you have to apply one of two factoring formulas. They are almost the same, with one small difference: the placement of the minus sign. <br><br> Formula for the sum of cubes: <br> <math>a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)</math> <br><br> Formula for the difference of cubes: <br> <math>a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)</math> <br><br> In the formula for factoring the sum of cubes, the minus sign is found in the quadratic factor: <math>a^2 – ab + b^2</math>. In the one used to factor the difference of cubes, the minus sign is located in the linear factor: <math>a – b</math>. <br><br> Be sure to apply the appropriate factoring formula! <br><br> Enter the binomial into the calculator and Tiger will show you, step by step, how to solve it.	Faktorisierung von Binomen als Summe oder Differenz von Kubikzahlen <br><br> Um die Summe oder die Differenz von Kubikzahlen zu ermitteln, musst du eine von zwei Faktorisierungsformeln anwenden. Diese sind fast identisch, mit einem kleinen Unterschied: der Position des Minuszeichens. <br><br> Formel für die Summe von Kubikzahlen: <br> <math>a^3+b^3=(a+b)(a^2–ab+b^2)</math> <br><br> Formel für die Differenz von Kubikzahlen: <br> <math>a^3–b^3 =(a–b)(a^2+ab+b^2)</math> <br><br> In der Formel für die Faktorisierung der Summe von Kubikzahlen befindet sich das Minuszeichen im quadratischen Faktor: <math>a^2–ab+b^2</math>. In der Formel, die zur Faktorisierung der Differenz von Kubikzahlen verwendet wird, befindet sich das Minuszeichen im linearen Faktor: <math>a–b</math>. <br><br> Achte darauf, stets die geeignete Faktorisierungsformel anzuwenden! <br><br> Gib das Binom in den Rechner ein und der Tiger zeigt dir Schritt für Schritt, wie du es lösen kannst.
FactoringBinomialsasDifferenceofSquares	Factoring binomials as difference of squares	Faktorisierung von Binomen als Differenz von Quadratzahlen
FactoringBinomialsasDifferenceofSquaresContent	A binomial is factorable only if it is one of three things a Difference of Squares, a Difference of Cubes, or a Sum of Cubes. A binomial is a Difference of Squares if both terms are perfect squares. Recall we may have to factor out a common factor first. <br><br> If we determine that a binomial is a difference of squares, we factor it into two binomials. The first being the square root of the first term minus the square root of the second term. The second being the square root of the first term plus the square root of the second term. <div style="white-space: normal;"> <p>A binomial is an algebraic expression consisting of two terms. The difference of squares is a special case of factoring where a binomial can be factored into the product of two binomials.</p> <p>The formula for factoring a binomial as the difference of squares is: <math>a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)</math>.</p> <h2>Step-by-Step Process</h2> <p>To factor a binomial as the difference of squares, follow these steps:</p> <ol> <li>Identify the square of each term in the binomial.</li> <li>Write the binomial as the difference of squares using the formula above.</li> <li>Factor the expression if possible.</li> </ol> <h2>Example</h2> <p>Let's factor the binomial <math>x^2 - 9</math> as the difference of squares:</p> <p>Step 1: Identify the squares - <math>x^2</math> and <math>9</math> are both perfect squares.</p> <p>Step 2: Write the difference of squares - <math>x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)</math>.</p> <p>Step 3: The expression is now factored as the difference of squares.</p> <p>Factoring binomials as the difference of squares is a fundamental technique in algebra and is often used in various mathematical problems.</p> </div>	Ein Binom ist nur in drei Fällen faktorisierbar: wenn es sich um eine Differenz von Quadratzahlen, eine Differenz von Kubikzahlen oder eine Summe von Kubikzahlen handelt. Ein Binom ist dann eine Differenz von Quadratzahlen, wenn beide Terme perfekte Quadratzahlen sind. Vergiss nicht, dass wir zunächst einen gemeinsamen Faktor ausklammern müssen. <br><br> Falls wir ermitteln, dass ein Binom eine Differenz von Quadratzahlen ist, zerlegen wir es in zwei Binome. Das erste ist dabei die Quadratwurzel des ersten Terms minus die Quadratwurzel des zweiten Terms. Das zweite ist die Quadratwurzel des ersten Terms plus die Quadratwurzel des zweiten Terms.
FactoringMultiVariablePolynomials	Factoring multivariable polynomials	Faktorisierung multivariater Polynome
FactoringMultiVariablePolynomialsContent	<div style="white-space: normal;"> <p>Factoring multivariable polynomials involves finding the common factors among the terms of the polynomial and expressing it as the product of simpler polynomials.</p> <h2>Step-by-Step Process</h2> <p>To factor a multivariable polynomial, follow these steps:</p> <ol> <li>Identify common factors among the terms of the polynomial.</li> <li>Factor out the greatest common factor (GCF) from each term.</li> <li>Express the polynomial as the product of the GCF and the remaining factors.</li> <li>If possible, further factor the remaining polynomial using other factoring techniques such as grouping, difference of squares, or trinomial factoring.</li> </ol> <h2>Example</h2> <p>Let's factor the multivariable polynomial <math>2x^2y + 4xy^2</math>:</p> <p>Step 1: Identify common factors - The common factor among the terms is <math>2xy</math>.</p> <p>Step 2: Factor out the GCF - <math>2xy( x + 2y )</math>.</p> <p>Step 3: The polynomial is now factored as <math>2xy( x + 2y )</math>.</p> <p>Factoring multivariable polynomials is essential in algebra and other areas of mathematics for simplifying expressions and solving equations.</p> </div>	Der Tiger Algebra-Rechner zeigt dir Schritt für Schritt, wie du multivariate Polynome faktorisieren kannst.
Factorial	Factorials	Fakultäten
FactorialTopic	Factorials	Fakultäten
FactorialContent	The factorial symbol ! is placed after a positive integer to indicate that it should be multiplied by every whole number less than it, through <math>1</math>. For example:<br> <math>6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1</math><br><br> The factorial operation, denoted as n!, states that:<br> <math>n! = n(n–1)(n–2)(n–3) · · · 3 · 2 · 1</math><br><br> The factorial operation is often used to mathematically express combinations, different ways that selected elements can be arranged when the order does not matter, and permutations, different ways that selected elements can be arranged when the order does matter.<br><br> The factorial of <math>0</math> is <math>1</math>.<br> <math>0! = 1</math>	Das Symbol für Fakultäten ! wird einer positiven ganzen Zahl nachgestellt, um anzuzeigen, dass diese mit jeder kleineren ganzen Zahl multipliziert werden sollte, bis hin zu <math>1</math>. Zum Beispiel:<br> <math>6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1</math><br><br> Die Fakultät wird als n! geschrieben und gibt Folgendes an:<br> <math>n! = n(n–1)(n–2)(n–3) · · · 3 · 2 · 1</math><br><br> Die Fakultät wird oft verwendet, um Kombinationen, das heißt, unterschiedliche Anordnungen von ausgewählten Elementen, wenn die Reihenfolge egal ist, und Permutationen mathematisch darzustellen, das heißt, unterschiedliche Anordnungen von ausgewählten Elementen, wenn die Reihenfolge wichtig ist.<br><br> Die Fakultät von <math>0</math> ist <math>1</math>.<br> <math>0! = 1</math>

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DecimalToFraction	Decimal to fraction	Tiger Algebra-Rechner
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DecimalToFractionStep1TextUnit1	Write the decimal as a fraction over a power of ten: <math>{decimalInput}</math> = <math>{rawFraction}</math>.	<math>{decimalInput}={rawFraction}</math>.
DecimalToFractionStep1Title1	Rewrite decimal as a fraction	Dezimalzahl als Bruch schreiben
DecimalToFractionStep2TextUnit1	Reduce numerator and denominator by gcd <math>{gcdValue}</math> to get <math>{reducedFraction}</math>.	<math>gcd={gcdValue}</math>, <math>{reducedFraction}</math>.
DecimalToFractionStep2Title1	Reduce by greatest common divisor	Auf den vollstandig gekurzten Bruch bringen
DecimalToFractionStep3TextUnit1	The decimal <math>{decimalInput}</math> in lowest terms is <math>{fractionResult}</math>.	<math>{decimalInput}={fractionResult}</math>.
DecimalToFractionStep3Title1	Final reduced fraction	Gekurzten Bruch angeben
DeMoivreFormula	De Moivre formula	Moivrescher Satz
DeMoivreFormulaContent	De Moivre’s formula, also called de Moivre’s theorem or de Moivre’s identity, is used to determine the nth power of a complex number. It states that if n is any integer and x is a real number, then <math>(cos(x) + i sin(x))^n = cos(nx) + i sin(nx)</math>, where i is the imaginary unit <math>(i^2 = −1)</math>. The expression <math>cos(x) + i sin(x)</math> is sometimes reduced to <math>cis(x)</math>. De Moivre’s formula is a direct method for solving problems involving powers of complex numbers. In an extended form, it can be used to find the nth roots of a complex number.	Der Moivresche Satz, auch Satz von de Moivre oder Formel von de Moivre genannt, wird verwendet, um die n-te Potenz einer komplexen Zahl zu bestimmen. Er besagt Folgendes: Wenn n eine beliebige ganze Zahl ist und x eine reelle Zahl ist, dann gilt <math>(cos(x) + i sin(x))^n = cos(nx) + i sin(nx)</math>, wobei i die imaginäre Einheit ist <math>(i^2 = −1)</math>. Der Ausdruck <math>cos(x) + i sin(x)</math> wird manchmal zu <math>cis(x)</math> vereinfacht. Der Moivresche Satz ist eine direkte Methode zur Lösung von Problemen, die Potenzen komplexer Zahlen involvieren. In einer erweiterten Version kann er verwendet werden, um die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl zu ermitteln.
DistanceBetweenTwoPointsAndTheirMidpoint	Distance between two points	Abstand zwischen zwei Punkten und ihrem Mittelpunkt
DistanceBetweenTwoPointsAndTheirMidpointContent	The distance formula, an application of the Pythagorean theorem, is a very helpful tool for finding the distance between two points. The Pythagorean theorem states the following: in a right triangle, the length of side <math>a</math> squared plus the length of side <math>b</math> squared is equal to the length of the hypotenuse (side <math>c</math>) squared.<br> <math>a^2+b^2=c^2</math><br> <img src="/images/distance-between-two-points-graph1.png" alt="Distance between two points graph"><br><br> The hypotenuse (<math>c</math>) is the longest side of a right triangle and is always opposite the right angle. The length of the hypotenuse also represents the distance between points <b>A</b> and <b>B</b>, which can each be represented by two coordinates: an <math>x</math> coordinate and a <math>y</math> coordinate.<br> Point <b>A</b> = <math>(x_1,y_1)</math><br> Point <b>B</b> = <math>(x_2,y_2)</math><br><br> To get the distance formula, we can rewrite the Pythagorean theorem as:<br> <math>d=\sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}</math><br> in which <math>d</math> represents the distance between points <b>A</b> and <b>B</b>, and the Xs and Ys represent the <math>x</math> and <math>y</math> coordinates of points <b>A</b> and <b>B</b>.<br><br> In order to find the distance between two points, enter their coordinates (for example (1,2) and (3,4)) and click the solve button.	Die Entfernungsformel, eine Anwendung des Satzes des Pythagoras, ist zur Bestimmung des Abstands zwischen zwei Punkten sehr nützlich. Der Satz des Pythagoras lautet folgendermaßen: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Länge der Seite <math>a</math> zum Quadrat plus die Länge der Seite <math>b</math> zum Quadrat gleich der Länge der Hypotenuse (Seite <math>c</math>) zum Quadrat.<br> <math>a^2+b^2=c^2</math><br> <img src="/images/distance-between-two-points-graph1.png" alt="Distance between two points graph"><br><br> Die Hypotenuse (<math>c</math>) ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks und liegt immer dem rechten Winkel gegenüber. Die Länge der Hypotenuse repräsentiert auch die Distanz zwischen den Punkten <b>A</b> und <b>B</b>, die jeweils durch zwei Koordinaten repräsentiert werden können: einer <math>X</math>-Koordinate und einer <math>Y</math>-Koordinate.<br> Punkt <b>A</b> = <math>(X_1,Y_1)</math><br> Punkt <b>B</b> = <math>(X_2,Y_2)</math><br><br> Um die Entfernungsformel zu erhalten, können wir den Satz von Pythagoras folgendermaßen umschreiben:<br> <math>d=sqrt((x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2)</math><br> wobei <math>d</math> der Abstand zwischen den Punkten <b>A</b> und <b>B</b> ist und die X- und Y-Koordinaten die <math>X</math>- und <math>Y</math>-Koordinaten der Punkte <b>A</b> und <b>B</b> sind.<br><br> Gib zur Ermittlung der Entfernung zwischen zwei Punkten die Koordinaten der Punkte ein, (zum Beispiel (1,2) und (3,4)), und klicke auf Lösen.
DistanceBetweenTwoPointsCalculator	Distance between two points	Abstand zwischen zwei Punkten
DistanceBetweenTwoPointsCalculator.plugin	finding the distance between two points on an XY plane	Ermittlung des Abstands zwischen zwei Punkten in einer XY-Ebene
DistanceBetweenTwoPointsFinalResultSpokenDescription	The distance between the two points is {SolutionFinalResult}	Der Abstand zwischen den beiden Punkten beträgt {SolutionFinalResult}
DistanceBetweenTwoPointsFinalResultSpokenDescriptionAtEnding	And so the distance between the two points is {SolutionFinalResult}	Der Abstand zwischen den beiden Punkten beträgt also {SolutionFinalResult}
DistanceBetweenTwoPointsMetaVideoDescription	See how to easily find the distance between two points p1 {0} and p2 {1} with our clear, step-by-step video guide on Tiger Algebra. Also, check out https://www.tiger-algebra.com{2} for more tips and tricks	Erfahren Sie mit unserer klaren, Schritt-für-Schritt-Videoanleitung zur Tiger-Algebra, wie Sie ganz einfach den Abstand zwischen zwei Punkten p1 {0} und p2 {1} ermitteln. Weitere Tipps und Tricks finden Sie auch unter https://www.tiger-algebra.com{2}
DistanceBetweenTwoPointsMetaVideoTags	math, algebra, tiger-algebra, e-learning, distance, between two points	Mathematik, Algebra, Tigeralgebra, E-Learning, Distanz, zwischen zwei Punkten
DistanceBetweenTwoPointsMetaVideoTitle	Find the distance between two points p1 {0} and p2 {1}: Step-by-Step Video Solution	Finden Sie den Abstand zwischen zwei Punkten p1 {0} und p2 {1}: Schritt-für-Schritt-Videolösung \| Tigeralgebra
DistanceBetweenTwoPointsSolverNTPythagoreanTheoremNT	First, take the square root of both sides of the Pythagorean theorem.	Das sagt uns der Satz des Pythagoras
DistanceBetweenTwoPointsSolverNTPythagoreanTheoremNT2	This gives us the distance formula.	Das Ziehen der Quadratwurzel beider Seiten führt uns zur Distanzformel
DistanceBetweenTwoPointsSolverTransitionSubstitute	Plug the coordinates of the points into the formula	Setze die Koordinaten der Punkte in die Formel ein
DistanceBetweenTwoPointsSpokenDescription	This deals with the distance between two points.	Dabei geht es um den Abstand zwischen zwei Punkten.
DistanceBetweenTwoPointsSpokenDescriptionIntro	You asked Tiger to calculate	Sie haben Tiger gebeten, zu rechnen
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